A JOHN LOMAS, que me pidió que lo escribiera

Presentación

La obra de G. H. Hardy A Mathematician’s Apology fue publicada por vez primera en 1940, cuando se empezaba a presentir la Segunda Guerra Mundial. Han pasado 60 años y las ideas que Hardy expone en su obra siguen ejerciendo una atracción especial, tanto para matemáticos como para quienes no lo son.

Y es que a quien contempla el mundo de la actividad matemática desde fuera, le resulta un tanto enigmático cuál puede ser el tipo de motivación profunda que un profesional de la matemática encuentra en su ejercicio, que de eso es en realidad de lo que se trata en la obra de Hardy.

Para un matemático es claro que las ideas sobre este asunto de uno de los grandes del siglo en su propia profesión han de resultar fuertemente estimulantes. Y esto es así aun en el caso, incluso tal vez precisamente por ello, de que en muchos puntos las ideas de Hardy resulten un tanto chocantes con sus propias ideas acerca del quehacer matemático.

Pienso que el que resulte su obra incluso hoy controvertida y chocante le hubiera agradado a Hardy especialmente. En su estilo personal y en su propia formación con el talante típico de Cambrige y Oxford casaba bien la confrontación directa con opiniones extendidas en su ambiente e incluso con las de personas muy concretas y famosas de su tiempo. Como se verá en las páginas que siguen, Hardy no rehuye ni suaviza tales confrontaciones, sino más bien parece subrayarlas y saborearlas con placer. Su misma forma de expresarse, abierta, incisiva, directamente polémica a veces, proporciona a sus páginas unos rasgos un tanto inesperados, y al mismo tiempo atrayentes, en un tema que muchas personas están habituadas a contemplar de forma más pacífica e impersonal.

Una biografía breve de Hardy junto con alguna información interesante sobre su obra matemática y con referencias adecuadas para quien quiera examinarla más de cerca se puede encontrar en la red en la dirección siguiente:

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Hardy.html.

Para percibir más intensamente muchos de los rasgos curiosos de la personalidad de Hardy una de las mejores fuentes es el extenso prólogo que C. P. Snow, quien tuvo un conocimiento de Hardy muy cercano, escribió para la primera edición de este libro.

En las breves notas que siguen me restringiré a comentar unas pocas de las muchas ideas interesantes que Hardy desarrolla en su obra.

Hardy confiesa bien abiertamente que su dedicación a la matemática ha tenido siempre una motivación estética. Y es precisamente en la apasionada exposición que hace en esta obra de la belleza de la matemática donde a mi parecer más brilla Hardy y más convincente se muestra.

Su análisis de los elementos de esa belleza peculiar que de la actividad matemática resulta, belleza enigmática, seria, profunda, desveladora de hondas y armónicas relaciones en un mundo no menos real que el físico, pone de manifiesto en esa belleza un carácter de permanencia superior incluso a los principales logros más universalmente reconocidos de la creatividad humana. Estas reflexiones surgen del más profundo convencimiento de Hardy. En mi opinión, las secciones del libro en que se trata este tema son las más logradas y aleccionadoras.

En contraste profundo con lo anterior, hay una idea reiterada en la obra de Hardy en cuya exposición y defensa también derrocha gran energía y apasionamiento que había de ser refutada con contundencia por unos cuantos desarrollos posteriores. Hardy insiste con fuerza, yo diría también con cierta jactancia y machaconería, en la «inutilidad» de la matemática que él llama «real», es decir la que tiene que ver con ese quehacer elevado y recóndito que es el que ha atraído de veras a los grandes matemáticos alejados de todo contacto con los mundanales intereses, y sobre todo de la guerra y otros menesteres más o menos sucios. En ella incluye los recientes desarrollos de Einstein, la obra maestra de Gauss en teoría de números… Esta matemática «real» es también, por supuesto, la suya propia.

En 1945, cinco años después de la publicación del libro y dos años antes de la muerte de Hardy, la matemática de Einstein, junto con otros avances de la física, había dado lugar a la bomba atómica. Probablemente las afirmaciones tajantes que se pueden leer en este libro hubieran sido matizadas tras un acontecimiento como éste.

En cuanto a sus observaciones sobre la inutilidad de la teoría de números Hardy se hubiera quedado un tanto perplejo ante las implicaciones que un campo aparentemente tan «inútil» como el relativo a la factorización, es decir la descomposición efectiva en factores primos de un número grande, tienen sobre la criptografía actual.

Si Hardy echara hoy una mirada a la Encyclopaedia Britannica y buscara la información que recoge sobre él se extrañaría un tanto de que, al parecer, el rastro suyo en la ciencia que se cita en primer lugar, como si fuera lo más importante que él hizo, es la ley de Hardy-Weinberg, que describe el equilibrio genético de una población y que es útil, entre otras cosas, para estudiar la distribución sanguínea del factor Rh.

Hay una buena porción de los temas tratados por Hardy en su obra que probablemente seguirán generando siempre una fuerte diversidad de opiniones, tanto entre los matemáticos de cualquier nivel, como entre los no matemáticos.

Uno de ellos bien patente y recurrente en la obra es el pensamiento deprimente, y posiblemente fruto de la profunda depresión en la que Hardy se sumergió en sus últimos años, es la inutilidad de la vida del matemático que no es, o bien ya no es, capaz de producir esa matemática «real» de la que habla Hardy.

Parecería que incluso el matemático que se siente únicamente motivado por el placer estético presente en el quehacer propio de la matemática debería pensar de modo distinto al que Hardy propone. Tal placer se puede producir, no tan sólo en la creación de esa matemática «real», lo que suele ser privilegio de unos pocos e incluso para ellos de unos pocos instantes, sino también en la contemplación de la belleza matemática, creada por quien sea, así como en la participación con otros de ese goce estético que esa contemplación es capaz de producir.

A mi parecer, hay algo en la actitud profunda de Hardy que le privó de este gozo posible que otros experimentamos también en la contemplación individual y en la transmisión a otros de esta belleza que implica la enseñanza a diversos niveles. Como Hardy mismo afirma en la sección 29, él consideró la matemática esencialmente como un ejercicio competitivo, en el que lo importante es hacerlo mejor que los demás. Es verdad que hay matemáticos que comparten esta visión. Pero no creo que sea esta una actitud sana, ni muy generalizada, y me imagino que los que la comparten no son los más satisfechos con su dedicación a la matemática.

La insistencia de Hardy en la «inutilidad» de la matemática «real» le lleva también a adoptar extremos extraños. Su opinión, en la sección 27, es que, si bien la matemática ha hecho y sigue haciendo más cómoda la vida de los hombres, le parece inapropiado hablar de los grandes efectos de la matemática sobre el curso mismo de la humanidad, como hacen sus contemporáneos Hogben y Whitehead.

Su desacuerdo con Hogben no parece importarle mucho, pues Hogben, según dice Hardy, no es un matemático. Su discrepancia con Whitehead, que sí es un matemático «real», es otra cosa. Hardy dice que los «tremendo efectos» de la matemática pueden tener lugar efectivamente sobre matemáticos como Whitehead, pero no sobre la humanidad. Hardy no parece tener en cuenta que la influencia de las ideas en la evolución del pensamiento humano no se da sino a través de personas singulares capaces de percibir tales ideas en su justo valor e interpretarlas y comunicarlas de modo adecuado.

Hardy, en contraste con Whitehead y con muchos otros, matemáticos y no matemáticos, concede una ínfima atención a la influencia de las ideas profundas que, surgiendo o apoyándose en el pensamiento matemático, han ejercido un impacto esencial sobre el progreso cultural humano. Tal vez estos aspectos no significaran gran cosa para la sensibilidad de Hardy.

Como se puede observar, hay en la obra de Hardy una gran cantidad de ideas que estimulan el pensamiento de quien se pone en contacto con ellas. Pienso que la republicación en castellano de las interesantes páginas de Hardy servirá para animar a matemáticos y no matemáticos a meditar profundamente sobre el sentido mismo del quehacer matemático.

Miguel de Guzmán

Madrid, Agosto 1999

* * * *

Prologo de la edición inglesa

C. P. Snow [1]

Era una noche como otra cualquiera en el comedor principal del Christ’s College, salvo que Hardy estaba invitado a cenar. Acababa de regresar a Cambridge para ocupar el puesto de profesor sadleiriano[2], y yo había oído hablar de él a algunos jóvenes matemáticos de Cambridge. Estaban encantados de que hubiera regresado: era un matemático auténtico, decían, y no como esos Dirac y Bohr de los que los físicos estaban siempre hablando: era el más puro de los puros. También era heterodoxo, excéntrico, radical y estaba preparado para hablar sobre cualquier tema. Corría el año 1931 y la expresión que voy a utilizar no se utilizaba todavía en inglés, pero más adelante ellos hubieran dicho que en cierto modo tenía categoría de estrella.

Me quedé observándole desde el otro extremo de la mesa. Tendría entonces algo más de cincuenta años, su pelo ya era gris y su piel estaba tan intensamente bronceada que parecía la de un piel roja. Su cara era hermosa, con pómulos altos y nariz fina, espiritual y austera pero capaz de descomponerse en convulsiones con sus diversiones íntimas, como las de un chiquillo. Sus ojos eran de color castaño oscuro, y brillantes como los de un pájaro, un tipo de ojos que no son raros entre aquéllos que están dotados para el pensamiento conceptual. En aquel tiempo, Cambridge estaba llena de caras poco corrientes y distinguidas, pero incluso entonces, pensé aquella noche, la de Hardy destacaba.

No recuerdo lo que vestía, quizá una chaqueta deportiva y unos pantalones de franela gris debajo de su toga. Al igual que Einstein, se arreglaba para agradarse a sí mismo; pero, a diferencia con aquél, diversificaba su ropa informal gracias a su afición a las caras camisas de seda.

Cuando después de la cena estábamos bebiendo vino sentados alrededor de la mesa del salón, alguien dijo que Hardy quería charlar conmigo sobre criquet. Yo había sido nombrado sólo hacía un año, pero el Christ’s College era entonces pequeño e incluso las aficiones de los profesores más jóvenes se conocían rápidamente. Me llevaron junto a él. No me presentaron. Como más tarde descubriría, era tímido y cohibido en lo relativo a los formalismos sociales y le aterrorizaban las presentaciones. Como forma de acogida se limitó a inclinar la cabeza y, sin más preámbulo, comenzó:

«Parece que sabe algo de criquet, ¿no es cierto?». Sí, le respondí, sé un poco.

Inmediatamente me sometió a un interrogatorio moderadamente severo. ¿Jugaba? ¿Qué clase de jugador era? Medio adiviné que le horrorizaban las personas, que tanto abundaban en la vida académica, que pretendían saber mucho sobre un deporte sin haberlo practicado nunca. Le expuse mis credenciales tal y como eran. Parece que mi respuesta le tranquilizó parcialmente y continuó con preguntas más tácticas. ¿A quién habría escogido yo como capitán para el último partido de la eliminatoria del año anterior (en 1930)? En el caso de que los seleccionadores hubieran decidido que Snow era la persona idónea para salvar a Inglaterra, ¿cuáles hubieran sido mi estrategia y mi táctica? («Se le permite actuar, si es suficientemente modesto, como capitán que no juega»). Así continuó, olvidándose del resto de la mesa. Estaba bastante absorto en la conversación.

Como iba a tener luego muchas oportunidades de darme cuenta, Hardy no creía ni en intuiciones ni en impresiones, ya fueran suyas o de cualquier otro. La única forma de evaluar los conocimientos de alguien era, según él, examinándole. Esto servía para las matemáticas, la literatura, la filosofía, la política o cualquier otro tema. Si la persona había presumido y luego retrocedía por la presión de las preguntas, allá él con su problema. En la brillante y concentrada mente de Hardy lo primero era lo primero.

Aquella noche en el salón, Hardy quería descubrir si yo era un compañero de criquet tolerable. Lo demás no importaba. Finalmente sonrió con un encanto inmenso y con franqueza infantil al decirme que Fenner (el campo de criquet de la universidad) sería más soportable la próxima temporada, ante la perspectiva de algunas conversaciones interesantes.

De esta forma, igual que debo mi relación con Lloyd George[3] a su pasión por la frenología, debo mi amistad con Hardy al hecho de haber malgastado una parte desproporcionada de mi juventud jugando al criquet. No sé cuál es la moraleja de esto, pero fue una gran suerte para mí. Intelectualmente fue la amistad más valiosa de mi vida. Su mente, como ya he mencionado antes, era brillante y de gran capacidad de concentración; tanto que a su lado cualquier otro parecía farragoso, un poco pedestre y confuso. No era un gran genio, como lo eran Einstein o Rutherford. Él decía, con su claridad habitual, que si esta palabra significaba algo no hacía referencia a él en absoluto. En su mejor momento, le oí afirmar, había sido por un corto periodo de tiempo el quinto mejor matemático puro del mundo. Como su carácter era tan hermoso y cándido como su mente, siempre puntualizaba que su amigo y colaborador Littlewood[4] era un matemático de una capacidad apreciablemente superior a la suya, y que su protegido Ramanujan [5]tenía un genio natural en el sentido en que lo tienen los grandes matemáticos (aunque no tan extensamente ni tan efectivamente).

A veces la gente pensaba que al hablar así de estos amigos Hardy se estaba minusvalorando. Es cierto que era magnánimo, y que se hallaba tan lejos de sentir envidia como lo puede llegar a estar una persona, pero pienso que uno confunde su calidad si no acepta sus juicios. Prefiero creer en su propia afirmación, a la vez orgullosa y humilde, en Apología de un matemático:

«Todavía me digo cuando estoy deprimido y me veo obligado a escuchar a personas pomposas y aburridas, “bueno, he hecho una cosa que usted nunca podría haber hecho, que es haber colaborado tanto con Littlewood como con Ramanujan en, digamos, igualdad de condiciones”.»

En cualquier caso, su posición entre los matemáticos debe dejarse a los historiadores de las matemáticas (aunque será una tarea casi imposible, pues la mayor parte de sus mejores trabajos fue hecha en colaboración con otros). Sin embargo, hay algo más en lo que era claramente superior a Einstein o a Rutherford o a cualquier otro genio: y era su capacidad para convertir cualquier trabajo intelectual, mayor, menor o banal, en una obra de arte. Pienso que fue sobre todo este don el que, casi sin darse cuenta de él, le hizo transmitir tanto encanto intelectual. Cuando la Apología de un matemático se publicó por primera vez, Graham Greene escribió en una crítica que, junto con los cuadernos de Henry James, ésta era la mejor narración de lo que significaba ser un artista creativo. Pensando en el efecto que Hardy tuvo sobre todos los que le rodearon, creo que ésta es la clave.

Nació en 1877 en el seno de una sencilla familia de profesionales liberales. Su padre era tesorero y profesor de arte en Cranleigh, por entonces un pequeño colegio privado. Su madre había sido jefe de estudios en la escuela de magisterio Lincoln Training College. Ambos eran personas dotadas e inclinadas hacia las matemáticas. En su caso, como en el de la mayoría de los matemáticos, no es necesario buscar en la herencia genética. La mayor parte de su infancia, al contrario que la de Einstein, fue la típica de un futuro matemático. Demostró ya de modo considerable un alto coeficiente de inteligencia casi antes de empezar a hablar. A los dos años ya escribía números del orden de millones (un dato significativo de habilidad matemática). Cuando le llevaban a la iglesia se entretenía factorizando los números de los himnos; siguió jugando con números desde entonces y este hábito le llevaría a la emotiva y bien conocida escena junto al lecho de enfermo de Ramanujan, que más adelante no podré resistir la tentación de narrar.

Su infancia fue ilustrada, cultivada, altamente literaria y victoriana. Sus padres eran probablemente algo obsesivos, pero también muy cariñosos. Una infancia en una familia victoriana de este tipo era tan apacible como podamos imaginar, pese a que fuera intelectualmente más exigente. La suya fue inusual en dos aspectos principalmente. En primer lugar, ya desde antes de los doce años su timidez era acusada. Sus padres sabían que era prodigiosamente inteligente y lo mismo le pasaba a él. Fue el primero de la clase en todas las asignaturas, y, en consecuencia, tenía que aparecer ante todo el colegio para recibir los premios, cosa que no podía soportar. Una noche, cenando conmigo, me contó que intentaba dar deliberadamente respuestas equivocadas para ahorrarse esa intolerable tortura, sin embargo, su capacidad de disimulo era mínima y siempre acababa consiguiendo los premios.

Algo de esta timidez desapareció con el tiempo y Hardy se convirtió en una persona competitiva. Como él cuenta en la Apología: «Cuando era un niño, no recuerdo haber sentido ninguna pasión por las matemáticas, y las opiniones que podría haber tenido sobre la carrera de matemático distaban mucho de ser nobles. Pensaba en las matemáticas sólo en lo que se refiere a exámenes y becas: quería ganar a los otros niños y éste me parecía el único camino en el que podría hacerlo más concluyentemente». Sin embargo, tuvo que convivir con una naturaleza extremadamente frágil, como si hubiera nacido con tres capas de piel menos. Al contrario que Einstein, que necesitaba someter su poderoso ego al estudio del mundo exterior antes de poder alcanzar su estatura moral, Hardy tuvo que fortalecer un ego que no estaba demasiado protegido. Más tarde, a lo largo de su vida esto hizo que estuviera muy seguro de sí mismo (mientras que Einstein nunca lo estuvo) cuando tenía que adoptar una decisión moral. Por otro lado, este rasgo de su personalidad le proporcionó su penetración introspectiva y su hermoso candor, de tal forma que podía hablar de sí mismo con total sencillez (lo que, igualmente, Einstein nunca pudo hacer).

Creo que esta contradicción o tensión en su temperamento estaba ligada a un curioso tic en su comportamiento. Era el clásico antinarcisista, no podía soportar que le sacasen una foto; por eso, sólo se conservan cinco fotos suyas. No tenía ningún espejo en su habitación, ni tan siquiera para afeitarse. Cuando iba a un hotel lo primero que hacía era cubrir todos los espejos con toallas. Esto ya hubiera sido bastante extraño si su cara hubiera sido como la de una gárgola, pero aparentemente podría resultar todavía más raro pues toda su vida fue un hombre bastante bien parecido, por encima de la media. Aunque, por supuesto, narcisismo y antinarcisismo no tienen nada que ver con la apariencia exterior que perciben los observadores externos.

Esta forma de comportarse parece excéntrica y, por supuesto, lo era. Entre él y Einstein había, sin embargo, una diferencia sustancial. Los que pasaron mucho tiempo con Einstein (como Infeld [6]descubrieron que cuanto más le conocían, más extraño les parecía. Estoy seguro de que yo hubiera sentido lo mismo. Con Hardy era verdad lo contrario. Su forma de ser era a menudo diferente de la nuestra e incluso estrafalaria, pero consistía más bien en una especie de superestructura colocada sobre una naturaleza que no defería tanto de la nuestra, excepto en que era más delicada, menos protegida y más sensible.

El otro rasgo inusual de su infancia era más mundano, sin embargo le permitió superar todos los obstáculos prácticos a lo largo de su carrera. Hardy, con su pura honestidad, hubiera sido la última persona en mostrarse melindroso sobre este punto. Sabía lo que tal privilegio significaba y sabía que lo tenía: su familia no tenía dinero, sólo el sueldo de un profesor de colegio, pero disponía del mejor asesoramiento educativo posible en la Inglaterra de la última parte del siglo XIX; y este tipo de formación ha sido siempre en este país más importante que cualquier riqueza. Siempre había becas disponibles, si uno sabía cómo conseguirlas. Nunca hubo la menor posibilidad de que el talento del joven Hardy se perdiese (como sí la hubo en el caso de Wells o de Einstein). Desde los doce años, sólo tenía que sobrevivir para que sus talentos fuesen atendidos.

De hecho, a los doce años, le dieron una beca en Winchester, que, por entonces y por mucho tiempo después, fue el mejor colegio de Inglaterra en matemáticas, basándose únicamente en la calidad de algún trabajo matemático hecho en Cranleigh (al hilo de esto uno se pregunta si cualquier colegio de prestigio sería tan flexible hoy en día). Allí recibió clases individuales de matemáticas, y también estaba entre los mejores en el estudio de los clásicos. Más tarde, admitiría, aunque a regañadientes, que había sido bien educado. Lo único que le gustaba del colegio eran sus clases, pues, como cualquier colegio privado de la época victoriana, Winchester era un lugar bastante duro para todo lo demás. Casi muere un invierno. Envidiaba a Littlewood, que continuó viviendo en su casa mientras asistió como alumno externo a la escuela de St. Paul, o a otros amigos que asistimos a las poco ceremoniosas escuelas públicas. No volvió a acercarse a los alrededores de Winchester desde que se marchó de allí, pero la dejó con la inevitabilidad de quien ha conseguido subirse al tren correcto, pues consiguió una beca para el Trinity College.

Tenía un curioso reproche que hacer a Winchester. Hardy tenía una destreza natural para cualquier juego de pelota e incluso a los cincuenta años podía derrotar habitualmente a algunos de los mejores deportistas universitarios, y a los sesenta le vi dar golpes de criquet sorprendentes. Sin embargo, en Winchester no tuvo ni una hora de entrenamiento y, en consecuencia, su estilo de juego era defectuoso; él pensaba que de haber sido entrenado allí hubiera llegado a ser un bateador realmente bueno, quizá no de primera clase pero sí muy encima de la media. Creo que, como todos los juicios que hacía sobre sí mismo, éste es bastante cierto. Es extraño que en el cénit del culto al deporte de la época victoriana, un talento como el suyo se perdiera completamente. Supongo que nadie pensó que el mejor estudiante del colegio, tan frágil y enfermizo y tan defensivamente tímido, pudiera tener ese don.

Lo normal para un wykehamista[7]hubiera sido ingresar en el New College. Esto no hubiera supuesto un cambio significativo en su carrera profesional (aunque, ya que prefería Oxford a Cambridge, hubiera permanecido allí toda su vida y algunos de nosotros hubiéramos perdido la oportunidad de tratarle). En cambio, decidió ir al Trinity por una razón que cuenta, con humor pero con su habitual franqueza, en la Apología. «Tenía alrededor de quince años cuando (de una forma bastante extraña) mis ambiciones cambiaron bruscamente. Existe un libro de “Alan St Aubyn”[8], que lleva por título A Fellow[9] of Trinity, uno de una serie de libros que trataban de lo que se suponía que era el ambiente universitario en Cambridge… Había dos héroes, el principal se llamaba Flowers y era casi totalmente bueno. El secundario se llamaba Brown y era una persona sin carácter. Flowers y Brown se ven expuestos a muchos peligros en la vida universitaria… Flowers supera todos los problemas, llega a ser Segundo Wrangler[10], y logra obtener automáticamente una plaza de Fellow (como supongo que sucedía entonces). Brown sucumbe, arruina a sus padres, se da a la bebida, es salvado del delirium tremens durante una tormenta por las oraciones del Junior Dean[11], le resulta muy difícil obtener siquiera un diploma normal, y finalmente se convierte en misionero. Su amistad no se ve alterada por estos infelices sucesos y a Flowers le vienen a la cabeza recuerdos de Brown cuando está bebiendo una copa de Oporto y comiendo cacahuetes en la Senior Combination Room[12].

»Aunque Flowers era un tipo bastante decente (en la medida en que “Alan St Aubyn” podía describirlo), incluso mi poco sofisticada mente rechazaba aceptarlo como inteligente. Si él podía conseguir esas cosas, ¿por qué yo no? En particular, la escena final en la Senior Combination Room me fascinó completamente y, desde entonces, hasta que lo conseguí, las matemáticas significaban para mí conseguir una Fellowship[13]en el Trinity».

Esa plaza la consiguió después de lograr la mejor nota en el examen de licenciatura en matemáticas, a la edad de 22 años. Por el camino, hubo dos pequeñas vicisitudes. La primera fue teológica y en el mejor estilo Victoriano, ya que decidió, pienso que incluso antes de dejar Winchester, que no creía en Dios. Para él, ésta fue una decisión sin matices, tan nítida y clara como cualquier otro concepto de su mente. En Trinity era obligatorio asistir a la capilla y Hardy le comunicó al decano, sin duda con la habitual y tímida certeza que le caracterizaba, que él «en conciencia» no podía asistir. El decano, que debía ser un burócrata pagado de sí mismo, insistió en que Hardy debía escribir a sus padres y contárselo. Estos eran unas personas muy religiosas y el decano sabía, y Hardy mucho más, que esta noticia les causaría dolor, un dolor que nosotros no podemos imaginar setenta años después.

Hardy luchó con su conciencia, ya que no era tan desenvuelto como para dejar pasar el tema. Ni siquiera fue lo suficientemente desenvuelto (según me contó una tarde en el campo de Fenner, porque la herida aún le dolía) para pedir el consejo de amigos más sofisticados, como George Trevelyan[14] y Desmond MacCarthy, que hubieran sabido cómo tratar el problema. Al final escribió la carta. En parte a causa de este incidente, su incredulidad religiosa permaneció abierta y activa desde entonces y rechazaba entrar en cualquier capilla de la universidad incluso para formalidades oficiales, como elegir director. Tenía amigos clericales, pero Dios era su enemigo personal. En todo esto resuena un eco del siglo XIX, pero nos equivocaríamos, como siempre con Hardy, si no creemos sus palabras.

A pesar de todo, convertía el asunto en motivo de jolgorio. Recuerdo un día en los años 30 en que le vi disfrutar de un pequeño triunfo. Sucedió en un partido entre los Gentlemen y los Players jugado en el campo de Lord. Eran los comienzos del partido de la mañana y el sol brillaba sobre el pabellón. Uno de los bateadores, situado frente a la escuela infantil, se quejó de que era deslumbrado por un reflejo que venía de un lugar desconocido. Los árbitros, desconcertados, intentaron averiguar su procedencia. ¿Los coches? No. ¿Las ventanas? No había ninguna en ese lado del campo. Al final, con justificable regocijo, un árbitro descubrió que el reflejo procedía de una gran cruz pectoral que colgaba sobre el pecho de un enorme clérigo. El árbitro le pidió educadamente que se la quitara. En las proximidades, Hardy se retorcía con un placer mefistofélico. A la hora del almuerzo no tuvo tiempo para comer ya que estaba escribiendo postales (éstas y los telegramas eran sus formas favoritas de comunicación) a todos sus amigos clericales.

Pero en su lucha contra Dios y sus vicarios la victoria no siempre estuvo de su lado. Por la misma época, en una tranquila y agradable tarde de mayo en Fenner, las campanadas de las seis resonaron en el campo. «Es bastante desafortunado», dijo Hardy sencillamente, «que algunas de las horas más felices de mi vida hayan transcurrido teniendo como fondo el sonido de una iglesia católica».

La segunda pequeña desilusión durante los años previos a su graduación fue de tipo profesional. Casi desde la época de Newton y durante todo el siglo XIX, Cambridge había sido dominada por los antiguos exámenes del Mathematical Tripos[15]. Los ingleses han tenido siempre más fe en los exámenes competitivos que cualquier otro pueblo (excepto quizá el imperio chino) y han celebrado tradicionalmente estos exámenes con justicia. Pero muy a menudo han demostrado una notable falta de imaginación al decidir cuál debía ser el contenido de dichos exámenes. Dicho sea de paso, esto es válido hasta el día de hoy, y era particularmente verdad en los Mathematical Tripos durante su época de esplendor. Se trataba de un examen en el que las preguntas tenían una gran dificultad técnica, pero desafortunadamente no daban ninguna oportunidad al alumno para que mostrase imaginación o penetración matemática o cualquier otra cualidad necesaria en un matemático creativo. Los mejores alumnos (los Wranglers, un término que todavía subsiste y que significa primera clase) eran clasificados según la nota en un orden numérico estricto. LosColleges celebraban que uno de los suyos se convirtiera en Senior Wrangler, y los dos o tres mejores Wranglers eran elegidos inmediatamente Fellows.

Todo era muy inglés pero tenía sólo una desventaja, como Hardy hizo notar con su polémica claridad tan pronto como se hubo convertido en un matemático eminente y se comprometió, junto con su firme aliado Littlewood, en la lucha por la abolición de ese sistema, que efectivamente había arruinado las matemáticas inglesas durante cien años.

En su primer trimestre en el Trinity, Hardy se encontró atrapado por este sistema. Iba a ser entrenado como un caballo de carreras para correr una carrera de ejercicios matemáticos que a los 19 años ya sabía que carecían de sentido. Fue enviado a un preparador famoso al que iban la mayoría de los potenciales Senior Wranglers. Este preparador conocía todos los obstáculos y todos los trucos de los examinadores y tenía un sublime desinterés por la materia en sí. En este punto se hubiese rebelado el joven Einstein y, o bien hubiera dejado Cambridge, o bien no hubiera realizado ningún trabajo consistente en los tres años siguientes. Pero Hardy había nacido dentro del más puro y profesional ambiente inglés (que tiene tantos méritos como inconvenientes), y después de considerar un cambio de carrera y pasar a estudiar historia, tuvo el buen sentido de buscar a un matemático auténtico para que le enseñase. Hardy le rindió tributo en la Apología: «El primero que me abrió los ojos fue el profesor Love, que me dio clase durante algunos trimestres y me proporcionó mi primera concepción seria del análisis, pero la gran deuda que contraje con él (era, después de todo, fundamentalmente un matemático aplicado) fue su consejo de que leyera el famoso Cours d’analyse[16] de Jordan[17]. Nunca olvidaré el asombro con el que leí este notable trabajo, que ha sido la fuente de inspiración de mi generación: según lo leía aprendí por primera vez qué significaban realmente las matemáticas. Desde entonces fui a mi manera un auténtico matemático con sólidas ambiciones matemáticas y una genuina pasión por ellas».

Consiguió ser el cuarto Wrangler en 1898. Solía confesar que esto le irritó ligeramente, pues tenía el suficiente espíritu competitivo como para sentir que aunque la competición era ridicula debía haberla ganado. En 1900 se presentó al examen de la segunda parte de los Tripos, una prueba merecedora de más respeto, y obtuvo el lugar que le correspondía consiguiendo su Fellowship.

Desde entonces, su vida quedó asentada y su propósito fue proporcionar rigor al análisis matemático inglés. No se desvió de sus tareas de investigación, a las que calificó como «la única gran felicidad permanente de mi vida». No tenía ansiedad respecto a lo que debía hacer, pues ni él ni nadie dudaban de su gran talento. Fue elegido miembro de la Royal Society con 33 años.

Por tanto, Hardy fue inusualmente afortunado, ya que no tuvo que preocuparse por su carrera. Desde los 23 años dispuso de todo el tiempo que un hombre pudiera desear y de tanto dinero como necesitase. Un profesor soltero del Trinity vivía a principios de este siglo con bastante desahogo económico y Hardy se mostraba razonable en el uso del dinero, aunque gastándolo cuando así le apetecía (a veces de forma bastante singular, como en trayectos en taxi de unas 50 millas) y, además, era desenvuelto con sus inversiones. Disfrutaba de sus aficiones y se complacía en sus excentricidades. Vivía entre algunos de los mejores intelectuales del mundo: G. E. Moore[18], Bertrand Russell, Trevelyan, que formaban parte de la alta sociedad del Trinity, y que no tardarían en encontrar su complemento artístico en el grupo de Bloomsbury[19] (el mismo Hardy tenía relaciones de amistad con ellos). Dentro de un círculo brillante, era uno de los jóvenes más brillantes, y en cierto modo también uno de los más incontenibles.

Anticiparé ahora lo que también diré después y es que tanto su vida como su espíritu se mantuvieron como los de un joven brillante hasta sus últimos años. Sus juegos y sus intereses conservaron la ligereza de los de un profesor joven, por eso, al igual que muchas personas que se conservan jóvenes hasta los 60, sus últimos años fueron los más sombríos para él.

Sin embargo, en la mayor parte de su vida fue más feliz que muchos de nosotros, pues tuvo muchos amigos, algunos de lo más variopinto y sorprendente. Estos amigos debían pasar ajgunos de sus particulares test: tenían que poseer una cualidad que él llamaba spin[21](término empleado en el criquet y que no tiene traducción), implica una cierta doble intención e ironía. De las figuras públicas recientes, Macmillan[22] y Kennedy obtendrían una buena nota en spin, mientras que Churchill y Eisenhower no. Sin embargo, era tolerante, leal, extremadamente jovial y muy amigo de sus amigos, aunque a veces no lo manifestase. Una vez me vi obligado a visitarle por la mañana, que era el tiempo que destinaba a su trabajo matemático. Estaba sentado ante su mesa de trabajo escribiendo con su hermosa caligrafía. Murmuré alguna disculpa formal diciendo que esperaba no haberle molestado. De repente, se transformó y apareció en su rostro su sonrisa burlona: «Como debes advertir, la respuesta es que lo estás haciendo. No obstante, habitualmente me complace verte». En los 16 años que nos tratamos, no dijo nada más explícito que eso, excepto en su lecho de muerte, cuando me confesó que esperaba con impaciencia mis visitas.

Creo que mi experiencia fue compartida por la mayor parte de sus amigos próximos, pero además tuvo, esparcidas a lo largo de su vida, otras dos o tres relaciones de un tipo diferente. Fueron afectos intensos, absorbentes y, aunque no físicos, sí exaltados. Uno que conocí fue el que le profesó a un joven cuya naturaleza era tan espiritualmente delicada como la suya. Creo, aunque lo deduzco de comentarios aislados, que lo mismo ocurría en los otros casos. Para mucha gente de mi generación tales relaciones hubieran parecido o insatisfactorias o imposibles, pero no eran ni lo uno ni lo otro y, al menos que uno lo dé por supuesto, no hay forma de comprender el temperamento de personas como Hardy (son raros, pero no tanto como un rinoceronte blanco), ni la sociedad de Cambridge en aquel tiempo. No logró las satisfacciones que la mayor parte de nosotros esperamos encontrar, pero como se conocía a sí mismo muy bien, esto no hizo que fuera infeliz. Su vida interior era sólo suya y muy rica. La tristeza vino al final. Aparte de su solícita hermana, se quedó sin nadie próximo a él.

Con estoicismo sardónico comenta en la Apología (que a pesar de su jovialidad es un libro de una tristeza desesperada) que cuando una persona creativa ha perdido el poder o el deseo de crear «es una pena, pero en el caso de que así sea, el matemático ya no importa mucho y sería tonto preocuparse por él». Así es como trató su vida personal fuera de las matemáticas, ya que éstas eran su justificación, lo que era fácil de olvidar en su animada compañía; igual que era fácil olvidar en presencia de la pasión moral de Einstein que su justificación fue la búsqueda de las leyes de la física. Ninguno de los dos lo olvidaron nunca, pues ésta fue la esencia de sus vidas desde su juventud hasta la muerte.

Hardy, al contrario que Einstein, no tuvo un arranque rápido. Sus primeros artículos, entre 1900 y 1911 fueron lo suficientemente buenos como para que consiguiera ingresar en la Royal Society y ganar una reputación internacional, pero él no los consideraba importantes y esto no fue otra vez falta modestia, sino la opinión de un maestro que sabía con precisión cuál de sus trabajos era valioso y cuál no.

En 1911 empezó la colaboración con Littlewood, que duraría 35 años. En 1913 descubrió a Ramanujan y comenzó otra colaboración. Sus principales trabajos fueron realizados dentro de estas dos asociaciones, la mayor parte de ellos en la colaboración con Littlewood, la más famosa de la historia de las matemáticas. Hasta donde yo sé, no ha ocurrido nada parecido en ninguna otra ciencia ni en ninguna otra actividad creativa. Juntos escribieron casi cien artículos, una buena parte de ellos «de la clase Bradman»[23]. Los matemáticos que ni intimaron con Hardy en sus últimos años, ni estaban interesados en el criquet, insisten en que su mayor término de elogio era «la clase Hobbs»[24]. Sin embargo, no lo era, y muy a su pesar, pues aunque Hobbs era uno de sus favoritos, tuvo que alterar su escala de méritos. Una vez recibí una postal suya, probablemente hacia 1938, diciendo que «Bradman es de una clase superior a la de cualquier bateador que haya existido. Si Arquímedes, Newton o Gauss son de la clase Hobbs, tengo que admitir la posibilidad de que haya una clase por encima de ellos, lo que me parece difícil de imaginar. Así que lo mejor es cambiarlos desde ahora a la clase Bradman».

Las investigaciones de Hardy y Littlewood dominaron la matemática pura inglesa y la de la mayor parte del mundo a lo largo de toda una generación. Los matemáticos me dicen que es demasiado pronto para decir hasta qué punto alteraron el curso del análisis matemático ni cuánta influencia tendrá su trabajo dentro de cien años. Sobre su valor permanente no hay discusión.

La suya fue, como ya dije, la más grande de todas las asociaciones pero nadie sabe cómo lo hicieron y, a menos que Littlewood nos lo cuente, nadie lo sabrá nunca. Ya he indicado antes que, según Hardy, Littlewood era el que poseía mayor poder creativo de los dos. Hardy escribió una vez que no conocía a «nadie que pudiera disponer de tal combinación de penetración, técnica y fuerza». Littlewood era y es una persona más normal que Hardy, tan interesante como él y probablemente más complejo. Nunca compartió el gusto de Hardy por un cierto tipo de refinada extravagancia intelectual y, por tanto, estuvo más alejado del centro de la escena académica. Este hecho dio lugar a bromas de los matemáticos europeos, como decir que Hardy le había inventado para poder echarle la culpa en el caso de que hubiera algún error en algunos de sus teoremas. De hecho, es un hombre de una personalidad tan obstinada como la del mismo Hardy.

A primera vista ninguno de los dos parecía el mejor candidato para trabajar en colaboración y es difícil imaginar a alguno de ellos sugiriendo en primer lugar la colaboración, y aunque nadie tiene ninguna evidencia, alguno de ellos lo debió de hacer. En su época más productiva ni siquiera estaban en la misma universidad. A Harald Bohr (hermano de Niels Bohr y excelente matemático) se le atribuye haber dicho que uno de los principios de su colaboración era que si uno escribía una carta al otro, el receptor no tenía ninguna obligación de contestarla o incluso de leerla.

Sobre este punto no puedo aportar nada más, pues Hardy habló conmigo durante muchos años de casi cualquier tema imaginable excepto de esta colaboración. Por supuesto que me contó que fue la mayor suerte de su carrera creativa y me habló de Littlewood en los términos que ya he indicado, pero nunca me dio una pista de su forma de trabajo. No sabía las suficientes matemáticas como para comprender sus artículos, pero entendía parte de su lenguaje y si él me hubiera dejado caer algo sobre su forma de trabajar no lo habría pasado por alto. Estoy seguro de que esta reserva, tan poco característica en él en otras materias que resultan más íntimas para la mayoría de nosotros, fue deliberada.

No guardó ningún secreto sobre cómo descubrió a Ramanujan. Escribió que fue el único incidente romántico de su vida y, en cualquier caso, es una historia admirable que muestra la calidad humana de las personas implicadas en ella (excepto de dos). Una mañana, a principios de 1913, encontró entre las cartas depositadas en su mesa de desayuno un gran sobre sucio con sellos de la India; cuando lo abrió, encontró en su interior varios folios escritos no recientemente, en los que, en una caligrafía poco inglesa, había varias líneas de símbolos. Hardy les echó un vistazo sin entusiasmo, pues para entonces, con 36 años, era un matemático de fama mundial y había descubierto ya lo expuestos a los excéntricos que éstos estaban. Estaba acostumbrado a recibir manuscritos provenientes de extraños en los que se demostraba la sabiduría profética de la gran pirámide, las revelaciones de los sabios de Sión o los criptogramas que Bacon había insertado en las obras del llamado Shakespeare.

Hardy se sintió más que nada aburrido y echó un vistazo a la carta escrita en un inglés vacilante por un desconocido indio que le pedía su opinión sobre sus descubrimientos matemáticos. El escrito parecía consistir en teoremas, la mayor parte de ellos como sin pulir, o de un aspecto fantástico, y uno o dos ya bien conocidos, presentados como si fueran un descubrimiento original. No había demostraciones de ningún tipo. Hardy estaba no sólo aburrido sino irritado y el asunto le pareció un curioso tipo de fraude, así que dejó de lado el manuscrito y puso en marcha su rutina diaria. Como ésta no cambió a lo largo de su vida es posible reconstruirla. Primero leía The Times mientras desayunaba; como esta historia sucedía en el mes de enero, el periódico debió de informar sobre los resultados de los partidos de criquet de Australia, y Hardy empezaría por ellos y los analizaría con perspicacia e intensa atención.

Maynard Keynes[25], que comenzó su carrera como matemático y que luego fue amigo de Hardy, le regañó una vez diciéndole que si hubiera dedicado media hora cada día a leer las cotizaciones bursátiles con la misma concentración con la que miraba los resultados de criquet, no hubiera podido evitar convertirse en un hombre rico.

Luego, aproximadamente desde las nueve hasta la una, a menos que tuviera que dar clase, se ocupaba de su propio trabajo matemático durante estas cuatro horas que, según solía decir, es el límite para el trabajo creativo de un matemático. Tomaba después una comida ligera en el propio College. Después de comer se dirigía a paso rápido a jugar un partido de tenis en la pista de la universidad (si hubiera sido verano, hubiera ido andando hasta Fenner para ver jugar al criquet). A última hora de la tarde regresaba dando un paseo a sus habitaciones. Sin embargo, aquel día en concreto, aunque no cambió sus hábitos, las cosas no funcionaron internamente de la forma acostumbrada, ya que en el fondo de su mente, interfiriendo en el placer de su juego, el manuscrito indio vagaba. Teoremas sin pulir. Teoremas tales que no habían sido vistos nunca antes, ni siquiera imaginados. ¿El engaño de un genio? Una pregunta estaba tomando forma en su cabeza y, tratándose de la mente de Hardy, la cuestión se formulaba con claridad sintáctica: ¿El que sea el engaño de un genio es más probable que la existencia de un genio matemático desconocido? La respuesta fue claramente no. De vuelta a sus habitaciones en el Trinity envió un mensaje a Littlewood (probablemente por un mensajero y, con toda certeza, no por teléfono, por el que como por otros dispositivos mecánicos como las estilográficas, tenía una profunda desconfianza) diciendo que debían tener una charla después de la cena.

Después de cenar puede que hubiera un retraso ligero, pues aunque a Hardy le gustaba tomar un vaso de vino, no era amigo de entreternerse en el salón tomando un Oporto y unos cacahuetes, a pesar de las gloriosas escenas descritas por «Alan St Aubyn» que habían encendido su juvenil imaginación. Sin embargo, Littlewood, que sí respondía más al prototipo del hombre sensual medio, sí lo hacía, por lo que se pudo producir el retraso. En cualquier caso, alrededor de las nueve estaban en una de las habitaciones de Hardy con el manuscrito extendido frente a ellos.

Éste es un momento en el que a uno le hubiese gustado estar presente. Por un lado, Hardy con su combinación de franqueza sin remordimientos y orgullo intelectual (era muy inglés, pero en las discusiones mostraba las características que las mentes latinas han asumido como propias), por otro, Littlewood, imaginativo, de mente poderosa e ingenioso. No les llevó aparentemente mucho tiempo, pues antes de la medianoche sabían, y con certeza, que el escritor de aquellos manuscritos era un genio. Eso era todo lo que podían juzgar hasta ese momento. Sólo más tarde decidiría Hardy que Ramanujan era, en lo relativo a genio matemático natural, de la clase de Gauss y Euler, pero que no podría esperarse de él, por su deficiente educación y porque había hecho su entrada demasiado tarde en la escena de la historia matemática, que contribuyese al desarrollo de las matemáticas en la misma escala.

Todo parece fácil, pues es el tipo de valoración que los grandes matemáticos deben de ser capaces de hacer, pero mencioné antes que había dos personas que no estuvieron a la altura de las circunstancias en esta historia y sólo la caballerosidad de Hardy hizo que no las mencionara en todo lo que dijo o escribió sobre Ramanujan. Las dos personas involucradas han muerto hace muchos años y ha llegado el momento de decir la verdad, que por otro lado es simple: Hardy no fue el primer matemático eminente al que le fueron enviados los manuscritos de Ramanujan. Había habido dos antes que él, ambos ingleses y ambos del más alto nivel académico, y habían devuelto los manuscritos sin comentarios. No creo que la historia nos cuente lo que dijeron, en caso de que dijeran algo, cuando Ramanujan se hizo famoso. Cualquiera que haya recibido material no solicitado sentirá a hurtadillas compasión hacia ellos.

En cualquier caso, Hardy entró en acción al día siguiente, al decidir que Ramanujan debía ser llevado a Inglaterra. El dinero no fue un problema pues el Trinity siempre se ha portado bien respaldando económicamente a talentos heterodoxos (de hecho, hizo lo mismo por Kapitsa[26] unos años más tarde). Una vez que Hardy estaba determinado a algo ninguna fuerza humana podía evitar la llegada de Ramanujan, pero, sin embargo, iba a necesitar un cierto tipo de ayuda sobrenatural.

Ramanujan resultó ser un pobre oficinista de Madrás, que vivía junto a su esposa con un sueldo de 20 libras al año; pero también era un brahman extraordinariamente estricto con sus obligaciones religiosas y cuya madre era aún más estricta. Parecía imposible que pudiese romper las prescripciones y cruzar el mar. Afortunadamente, su madre sentía el mayor respeto por la diosa de Namakkal y una mañana hizo un anuncio sorprendente: la noche anterior había tenido un sueño en el que había visto a su hijo sentado en una gran sala en medio de un grupo de europeos y la diosa de Namakkal le había ordenado que no se interpusiese en el camino que llevaba a que su hijo cumpliese su destino. Según cuentan los biógrafos indios de Ramanujan ésta fue una sorpresa agradable para todos los involucrados.

Ramanujan llegó a Inglaterra en 1914 y, por lo que Hardy pudo detectar (aunque en este punto no me fío demasiado de su perspicacia), no creía demasiado en la doctrina teológica, a pesar de las dificultades para romper las prescripciones de casta, aunque sí tenía una difusa benevolencia panteísta, algo más de la que tenía Hardy. Sin embargo, sí creía ciertamente en el ritual y cuando estuvo hospedado en el Trinity (a los cuatro años ya se había convertido en Fellow) no corrió ninguno de los peligros descritos por «Alan St Aubyn». Hardy solía encontrarle a menudo en su propia habitación, en pijama y cocinando de forma bastante triste verduras en una sartén.

Su asociación fue extrañamente conmovedora. Hardy no olvidó que estaba en presencia de un genio; pero se trataba de un genio que, incluso en matemáticas, carecía de toda formación. Ramanujan no pudo entrar en la Universidad de Madrás porque no dominaba suficientemente el inglés. Según los informes de Hardy, era amable y de buen natural, pero, sin duda, encontraría algo incomprensibles los temas de conversación de Hardy fuera del ámbito matemático. Parece que le escuchaba con una paciente sonrisa en su cara amistosa y sencilla. Incluso cuando trataban de matemáticas tenían que enfrentarse a su diferente formación, ya que Ramanujan era un autodidacta y no conocía nada del rigor matemático moderno, hasta el punto de que no sabía lo que era una demostración. Hardy escribió una vez, en un acto inusual de efusión, que si hubiera estado más preparado hubiera sido menos Ramanujan. Más adelante, recuperando su ironía habitual se corrigió a sí mismo diciendo que la afirmación anterior era una tontería. Si Ramanujan hubiera estado mejor preparado hubiera sido incluso más prodigioso de lo que fue. De hecho, Hardy se vio obligado a enseñarle algunos elementos formales de las matemáticas, como si Ramanujan hubiera sido un aspirante a conseguir una beca en Winchester. Hardy afirmó que ésta fue la experiencia más singular de su vida: ¿cómo le parecerían las matemáticas modernas a alguien dotado de la más alta capacidad de penetración, pero que literalmente nunca hubiera oído hablar de ellas?

En cualquier caso, escribieron juntos cinco artículos del más elevado nivel, en los que Hardy mostraba su suprema originalidad (se conocen más detalles de esta colaboración que de la mantenida entre Hardy y Littlewood). Por una vez, la generosidad y la imaginación fueron completamente recompensadas.

Esta es una historia de la virtud humana. Una vez que la gente ha comenzado portándose bien, continúa portándose mejor. Es bueno recordar que Inglaterra concedió a Ramanujan todos los honores posibles. La Royal Society le eligió miembro a los 30 años (muy joven, incluso para un matemático). El Trinity también lo eligió Fellow el mismo año. Fue el primer indio que consiguió ambas distinciones. Estaba amablemente agradecido, pero pronto cayó enfermo y fue difícil en aquellos años de guerra trasladarle a un lugar de clima más favorable.

Hardy solía visitarle en el hospital de Putney, donde se encontraba hospitalizado. Fue en una de esas visitas en la que sucedió la anécdota sobre el número del taxi. Hardy había ido a Putney en taxi, que era su método de transporte favorito, entró en la habitación en la que estaba Ramanujan y, siempre torpe para comenzar una conversación, dijo, probablemente sin saludar antes y, ciertamente, sin más preámbulos: «creo que el número de mi taxi era el 1729. Me parece un número bastante aburrido». A lo que Ramanujan respondió: «¡No, Hardy! ¡No, Hardy! Es un número muy interesante, ya que es el más pequeño que se puede expresar como la suma de dos cubos de dos formas diferentes».

Así fue la conversación, tal como la recordaba Hardy, y debe ser sustancialmente exacta ya que Hardy era el más honesto de los hombres y además, es difícil que alguien la inventará.

Ramanujan murió de tuberculosis en Madrás dos años después de la guerra. Tal como Hardy escribió en la Apología, al pasar lista a una serie de matemáticos:

[27] murió a los 21, Abel[28] a los 27, Ramanujan a los 33 y Riemann[29] a los 40… No conozco un ejemplo de un avance matemático de importancia desarrollado por una persona que haya superado los 50».

Si no hubiera sido por la colaboración con Ramanujan, los años de guerra 1914-1918 hubieran sido más sombríos para Hardy de lo que fueron, pero así y todo fueron bastante tristes. Le dejó una herida que se reabriría en la Segunda Guerra Mundial. Toda su vida fue un hombre de opiniones radicales, sin embargo, su radicalismo se vio matizado por el período ilustrado del cambio de siglo. Para la gente de mi generación, esta influencia parecía proporcionar un aire más ligero e inocente que el que conocíamos. Como muchos de sus amigos intelectuales del período eduardiano, sentía una fuerte simpatía hacia Alemania, ya que, después de todo, Alemania había sido la gran fuerza educadora del siglo XIX. Fueron las universidades alemanas las que enseñaron el significado de la investigación en el este de Europa, en Rusia y en los Estados Unidos. Hardy no cultivaba ni la filosofía ni la literatura alemanas porque sus gustos eran demasiado clásicos, pero en la mayor parte de los aspectos, la cultura alemana, incluyendo su nivel de bienestar social, le parecía superior a la suya propia.

Al contrario que Einstein, que tenía un sentido más inmediato de las cuestiones políticas, Hardy no tenía conocimientos de primera mano sobre la Alemania guillermina. Y aunque era la persona menos engreída que se pueda imaginar, no hubiera sido un ser humano si no hubiera disfrutado al ser más apreciado en Alemania que en su propio país. Hay una anécdota simpática que data de este período; según ella, Hilbert[30], uno de los más grandes matemáticos alemanes, oyó que Hardy vivía en el Trinity en unas habitaciones no especialmente agradables (situadas en realidad en Whewell’s Court). Inmediatamente Hilbert escribió en términos mesurados al director del Trinity señalando que Hardy era el mejor matemático no sólo del Trinity sino de Inglaterra y que por tanto debería tener las mejores habitaciones.

Hardy, como Russell y la mayor parte de la intelectualidad de Cambridge, creía que la guerra no debería haberse producido. Además, a causa de su profundamente arraigada desconfianza hacia los políticos ingleses, pensaba que la mayor responsabilidad del conflicto recaía sobre la parte inglesa. No pudo encontrar una base satisfactoria para justificar la objeción de conciencia, ya que su rigor intelectual era demasiado fuerte para ello. De hecho, se presentó voluntario para prestar servicio bajo el plan Derby[31], pero fue rechazado por razones médicas. Sin embargo, se fue sintiendo cada vez más aislado en el Trinity, la mayor parte del cual era vociferantemente belicosa.

Russell fue desposeído de su plaza de profesor en circunstancias complejas y acaloradas (Hardy escribiría un cuarto de siglo más tarde la única narración detallada sobre este caso, para confortarse a sí mismo durante otro conflicto bélico). Los amigos más próximos a Hardy se habían marchado para colaborar en la guerra. Littlewood estaba trabajando en balística como segundo teniente de la artillería real, aunque debido a su jovial indiferencia tuvo la clase de no querer ascender durante toda la de guerra. Su asociación con Hardy resultó afectada aunque no se detuvo totalmente. El trabajo de Ramanujan fue el único solaz de Hardy durante las amargas disputas en el Trinity.

Algunas veces he creído que Hardy fue, sólo en esta ocasión, injusto con sus colegas. Unos estaban bastante desequilibrados, como les pasa a las personas en tiempo de guerra; pero otros estaban sufriendo y trataban de mantener las formas externas. Después de todo, se puede considerar como un triunfo de la rectitud académica el que eligieran a su protegido Ramanujan en una época en la que Hardy apenas se saludaba con algunos de los electores y con otros ni tan siquiera eso.

Sin embargo, Hardy se sentía intensamente desgraciado y tan pronto como pudo se marchó de Cambridge. Le ofrecieron una cátedra en Oxford en 1919 e inmediatamente entró en la que sería la época más feliz de su vida. Había realizado ya en colaboración con Ramanujan importantes trabajos, pero ahora la asociación con Littlewood iba a alcanzar su esplendor, ya que Hardy estaba, según la frase de Newton, «en el mejor período de su vida para la creación», y esto le ocurría cuando ya había cumplido cuarenta años, una edad avanzada para un matemático.

Este resurgimiento creativo, que le llegó tan tarde, le produjo la sensación, más importante para él que para la mayoría de las personas, de disfrutar de una juventud eterna. Vivía la vida de una persona joven, que era su primera naturaleza. Jugaba más al tenis y mejoraba su estilo progresivamente (el tenis era un deporte caro y en él consumía una buena parte de sus ingresos profesionales). Hizo varias visitas a universidades americanas y le gustó mucho el país, siendo uno de los pocos ingleses de su tiempo que sintió más o menos el mismo afecto tanto por los Estados Unidos como por la Unión Soviética. Sin duda alguna, fue el único inglés de su época, y de cualquier otra, que escribió una sugerencia fundamentada a la federación de béisbol en la que proponía una modificación técnica de una de sus reglas. Los años 20 fueron para él y para la mayoría de los liberales de su generación un falso amanecer. Pensó que las miserias de la guerra habían quedado enterradas.

En el New College de Oxford se sentía como en casa, como nunca se había sentido en Cambridge, ya que el cálido y comunicativo ambiente doméstico de Oxford le sentaba bien. Fue allí, en un College que en aquel tiempo era pequeño e íntimo, donde perfeccionó su estilo de conversación. Gozaba siempre de una grata compañía dispuesta a escucharle después de la cena. Se aceptaban sus excentricidades, pues sus allegados se dieron cuenta de que no sólo era una buena y gran persona, sino de que además era entretenido. Tanto si se trataba de juegos dialécticos, como de juegos reales (aunque extraños) en el campo de criquet, estaban dispuestos a servir de réplica. Se desvelaban por él de una forma humana e informal. Ya antes se había sentido Hardy admirado o estimado, pero jamás se habían ocupado de él de esa manera.

Nadie parecía preocuparse (era un cotilleo que circulaba por el College) de que tuviera una gran fotografía de Lenin. Su radicalismo era hasta cierto punto desordenado, pero real. Como ya he explicado, había nacido en una familia de profesionales liberales y la mayor parte de su vida la había pasado entre la alta burguesía, pero de hecho se comportaba más como un aristócrata, o mejor dicho, como la representación de un aristócrata. Quizá parte de su actitud la había adquirido de su amigo Bertrand Russell, aunque la mayor parte de ella era innata. Bajo su timidez, la opinión de los demás le importaba un comino.

Se llevaba bien, sin ningún tipo de paternalismo, con los pobres, los desgraciados, los faltos de confianza en sí mismos y aquéllos desfavorecidos por cuestión de raza (fue una jugada del destino que descubriera a Ramanujan). Prefería a esta gente antes que a la que él llamaba de grandes posaderas; esta descripción era más psicológica que anatómica, aunque en el siglo XIX ya existía en el Trinity un famoso aforismo de Adam Sedgwick[32] que decía que «nadie había tenido éxito en este mundo sin grandes posaderas». Para Hardy, los de grandes posaderas eran los burgueses ingleses confiados, prósperos e imperialistas. Esta designación incluía a la mayoría de obispos, directores de colegio, jueces y todos los políticos con la única excepción de Lloyd George.

Aceptó un cargo público sólo para mostrar su lealtad y fue durante dos años (1924-26) Presidente de la Asociación de Trabajadores Científicos. Comentaba con sarcasmo que era una extraña elección, pues era «el miembro menos práctico de la profesión menos práctica del mundo». Pero en las cosas importantes no huía del pragmatismo, ya que deliberadamente daba siempre un paso al frente. Cuando mucho tiempo después trabajé junto a Frank Cousins, me proporcionó una cierta satisfacción pensar que tenía dos amigos que habían ocupado cargos en el movimiento sindical, él y Hardy.

Durante ese período tardío de renovada creatividad en el Oxford de los años 20, Hardy fue tan feliz que la gente se preguntaba por qué regresó a Cambridge en 1931. Creo que había dos razones. La primera y más decisiva era su gran profesionalidad, ya que Cambridge era el centro de la matemática inglesa y su cátedra más importante era el lugar apropiado para un profesional. En segundo lugar, y de un modo bastante singular, estaba ya pensando en sus últimos años, ya que sus colegas de Oxford, tan cálidos y humanos en muchos aspectos, eran implacables con los mayores: si hubiera permanecido en el New College, hubiera tenido que dejar su alojamiento tan pronto se retirase de su cátedra al llegar al límite de edad. Por el contrario, si regresaba a Cambridge podría permanecer en el College hasta su muerte, como así ocurrió.

Cuando regresó a Cambridge, que fue en el período en el que yo le conocí, se encontraba en el crepúsculo de su mejor momento. Todavía se encontraba feliz, y era creativo, aunque no tanto como en los años 20, pero sí lo suficiente como para hacerle sentir que el poder creativo estaba todavía ahí. Su estado de ánimo era el mismo que en el New College, por lo que tuvimos la suerte de conocerle casi en su mejor momento.

Durante el invierno, una vez que nos hicimos amigos, nos invitábamos a cenar a nuestros respectivos Colleges una vez cada quince días, y cuando llegaba el verano se daba por supuesto que nos encontraríamos en el campo de criquet. Excepto en ocasiones especiales, seguía realizando su trabajo matemático por la mañana y no llegaba a Fenner hasta después de comer. Solía caminar alrededor de la pista con su paso largo, sus fuertes pisadas (era un hombre fino y enjuto, que se mantenía activo físicamente incluso cerca de los sesenta y que todavía jugaba al tenis), su cabeza inclinada y el pelo, la corbata, los suéteres y los pápeles todos al viento: una figura que atraía la atención de todo el mundo. «Allí va un poeta griego, estoy seguro», dijo una vez un jovial granjero mientras Hardy pasaba junto al marcador. Iba hacia su lugar favorito, enfrente del pabellón de vestuarios, que era donde podía captar hasta el menor rayo de sol (era obsesivamente heliotrópico). Para engañar al sol y que brillase traía consigo, incluso en las agradables tardes de mayo, lo que denominaba su batería «anti-Dios», que consistía en tres o cuatro suéteres, un paraguas que era de su hermana y un gran sobre que contenía papeles matemáticos (una tesis doctoral, un artículo que estaba revisando para la Royal Society o algunos exámenes). Hardy explicaba a un conocido que Dios, al creer que él esperaba que el tiempo cambiase para darle la oportunidad de trabajar, disponía para llevarle la contraria que el cielo permaneciese despejado. Allí se sentaba, y para completar el placer de una larga tarde viendo jugar al criquet, le gustaba que el sol brillase y que un acompañante se uniese a la fiesta. La técnica, la táctica y la belleza formal eran para él los mayores atractivos del juego. No trataré de explicarlos, pues, a menos que uno conozca el lenguaje, son incomunicables; igual ocurre con algunos de los clásicos aforismos de Hardy, que resultan inexplicables si uno no domina el lenguaje del criquet o el de la teoría de números y preferiblemente ambos. Afortunadamente para una gran parte de nuestros amigos, también le gustaba la comedia humana.

Él hubiese sido el primero en rechazar que tuviera cualquier especial penetración psicológica, y sin embargo era el más inteligente de los hombres, había vivido con los ojos abiertos y leído mucho, y había captado el sentido general de la naturaleza humana: recio, indulgente, satírico y completamente libre de vanidad moral. Era cándido espiritualmente, como pocos (dudo que alguien lo pueda ser más), y sentía un horror burlón hacia la pretenciosidad, la indignación santurrona y el imponente conjunto de virtudes hipócritas. Ahora bien, el criquet, el juego más hermoso, es también el más hipócrita. Se supone que es la expresión más elaborada del espíritu de equipo. Uno debería preferir no marcar ningún tanto y ver que su equipo gana, antes que marcar 100 y ver que pierde (un gran jugador, que, como Hardy, era un hombre de inocente candor, puntualizaba suavemente que nunca había conseguido sentirlo así). Este rasgo particular inspiraba el sentido del ridículo de Hardy y como réplica solía exponer una serie de aforismos que lo contrarrestaban. He aquí algunos ejemplos:

«El criquet es el único deporte en el que uno juega contra once del equipo contrario y diez del propio equipo».

«Si te sientes nervioso cuando vas en primer lugar, nada hay que restaure tanto tu confianza como el ver que otra persona pierde».

Si sus oyentes tenían suerte podían escuchar otros comentarios sin relación con el criquet y que eran tan afilados en su conversación como en sus escritos. En la Apología hay algunos ejemplos, aquí van unos cuantos más:

«No vale la pena que una persona de gran clase exprese una opinión mayoritaria. Hay muchas otras personas, que por definición pueden hacerlo».

«Cuando estudiaba en la universidad uno podía, si era lo suficientemente heterodoxo, sugerir que Tolstoi estaba muy cerca de George Meredith[33] como novelista; pero, por supuesto, nadie más podía decirlo» (esto fue dicho a propósito de las intoxicaciones de la moda. Merece la pena recordar que Hardy perteneció a una de las generaciones más brillantes de Cambridge).

«Para cualquier intención seria, la inteligencia es un don muy pequeño».

«Los jóvenes deben ser presumidos, pero no deben ser imbéciles». (Dicho después de que alguien intentara persuadirle de que Finnegans Wake[34] era la obra maestra de la literatura).

«Algunas veces uno tiene que decir cosas difíciles, pero debería decirlas de la forma más simple que sepa».

A veces cuando contemplaba el criquet, su entusiasmo por los golpes de la pelota decaía; entonces pedía que hiciéramos equipos: equipos de charlatanes, de socios de club, de poetas falsos, de pelmazos, equipos en el que el nombre de los jugadores empezase por HA (los componentes primero y segundo eran Hadrian y Hannibal[35]), que empezasen por SN, o equipos formados por las personas ilustres del Trinity, del Christ's, y así sucesivamente. En estos juegos, como se puede comprobar, yo estaba en desventaja intentando hacer un equipo de figuras célebres cuyos nombres empiecen con las letras SN. También el equipo de celebridades del Trinity era poderoso (Clerk Maxwell[36], Byron, Thackeray y Tennyson eran algunas de sus figuras), mientras que el del Christ’s, que empezaba muy fuerte con Milton y Darwin, no tenía mucho más que mostrar a partir del tercero.

Otro de sus pasatiempos favoritos era «calificar a la persona con la que nos encontramos la noche anterior», y tenía que ser calificado sobre 100 puntos en cada una de las categorías que Hardy había inventado y definido hacía tiempo: TIESO, ANTIPÁTICO («una persona tiesa no es necesariamente antipática, pero todos los antipáticos sin excepción quieren ser considerados tiesos»), LERDO, BRANDY VIEJO, SPIN y algunos otros. Los tres primeros se explican por sí mismos (por ejemplo, el duque de Wellington obtendría un 100 en TIESO y en ANTIPÁTICO y un 0 en LERDO). BRANDY VIEJO derivaba de un personaje mítico que afirmaba que nunca había bebido otra cosa que no fuera brandy viejo. Por extrapolación, BRANDY VIEJO venía a significar un gusto excéntrico y esotérico, pero que estaba dentro de los límites de la razón. Como persona (y en opinión de Hardy, aunque no en la mía, como escritor) Proust conseguía muchos puntos en BRANDY VIEJO. Lo mismo que F. A. Lindemann (que más tarde se convertiría en Lord Cherweil[37]). El verano pasó y después de la temporada de Cambridge se celebró el partido de la Universidad. Conseguir ver a Hardy en Londres no era siempre fácil, pues, como ya mencioné antes, tenía una desconfianza morbosa hacia cualquier artilugio mecánico (nunca usó reloj) y, en particular, hacia el teléfono. En su alojamiento del Trinity o en su piso de St. George’s Square, solía decir con un tono desaprobatorio y ligeramente siniestro: «Si estás soñando con un teléfono, hay uno en la habitación de al lado». Una vez me tuvo que llamar para una emergencia. Yo oía su voz enojada que decía: «No escucharé nada de lo que digas, cuando acabe colgaré inmediatamente. Es importante que te acerques esta noche entre las nueve y las diez». Clic.

Sin embargo, se presentó puntual al partido de la Universidad. Allí se mostraba año tras año en todo su esplendor, rodeado de sus amigos, hombres y mujeres, parecía liberado de su timidez. Era el centro de toda nuestra atención, lo que no le disgustaba. Algunas veces se podían oír las risas del grupo de personas desde el camino que rodeaba al campo.

En los últimos años de su período feliz todo lo que hacía estaba afectado de gracia, orden y un cierto sentido del estilo. El criquet es un juego de gracia y orden, que es el motivo por el que lo encontraba bello. Me dicen que sus matemáticas tienen, hasta el último de sus trabajos creativos, las mismas cualidades estéticas. Me imagino que daba la impresión de que, en privado, actuaba cuando hablaba. Hasta cierto punto esto es cierto, pero también era, en lo que él llamaba ocasiones «no triviales» (que significaban ocasiones que eran importantes para cada participante), un oyente serio y concentrado. De las otras personas eminentes a las que, por varios motivos, conoció en el mismo período, Wells era, en general, peor oyente de lo que pudiera esperarse, Rutherford era claramente mejor y Lloyd George era uno de los mejores oyentes de todos lo tiempos. Hardy no extraía impresiones y conocimientos de las palabras de los demás, mientras que Lloyd George sí lo hacía, pues su mente estaba a disposición del que hablaba. Cuando años antes de que la escribiese, escuchó mi idea sobre The Masters[38], me interrogó de tal forma que yo llevé el peso de la conversación. Me dio algunas buenas ideas y me hubiera encantado que lo hubiera llegado a leer, porque creo que le hubiera gustado. Con esta esperanza, lo dediqué a su memoria.

En la nota al final de la Apología Hardy se refiere a otras discusiones que tuvimos. Una de ellas fue interminable y, en algún momento, con enfado por ambas partes. Cada uno mantuvo opiniones apasionadas y diferentes sobre la Segunda Guerra Mundial, pero, como contaré dentro de un momento, no logré modificar la suya ni un ápice. Sin embargo, aunque estábamos separados por un mar de emociones, en el plano de la razón admitía lo que estaba diciendo. Esto era cierto para cualquier discusión que tuviese con él.

Durante los años 30 vivió su propia versión de la vida de un hombre joven, hasta que de repente se quebró. En 1939 tuvo una trombosis coronaria, de la que se recuperó, pero el tenis, el squash y las actividades físicas que tanto le gustaban se acabaron para siempre. La guerra le entristeció aún más, igual que lo había hecho la Primera Guerra. Para él, las dos fueron una locura y todos teníamos la culpa. Una vez que estaba claro que el país sobreviviría, era tan incapaz de identificarse con la guerra como lo había sido en 1914. Uno de sus amigos más cercanos murió trágicamente y, creo que no hay duda de que estos pesares estaban relacionados entre sí, pasados los sesenta años perdió su fuerza como matemático creativo.

Por esto es por lo que la Apología de un matemático es, si la leemos con la atención textual que merece, un libro de obsesionante tristeza. Es cierto que es ingenioso y agudo y de un humor refinado, es cierto que la claridad cristalina y el candor están todavía ahí y es cierto que es el testamento de un artista creativo; pero también es cierto que es, con un estoicismo subyacente, un apasionado lamento por la fuerza creativa que se tuvo y que nunca más volverá a tenerse. No conozco en literatura nada semejante, en parte porque la mayoría de la gente literariamente dotada que podría expresar tal lamento nunca llega a sentirlo, ya que es muy raro que un escritor se dé cuenta, en beneficio de la verdad, de que está absolutamente acabado.

Viéndole en aquellos años, yo no podía dejar de pensar en el precio que estaba pagando por su estilo de vida juvenil. Era como ver a un gran deportista que durante muchos años se había mantenido en el esplendor de su juventud y habilidad, mucho más joven y alegre que cualquiera de nosotros, tener que aceptar que su talento se había acabado. Es frecuente encontrar a grandes deportistas que, como ellos dicen, han cruzado la montaña: muy rápidamente los pies parecen más pesados (normalmente la vista continúa funcionando bien), los golpes no salen, Wimbledon es un lugar que da pánico, el público se va a ver a otro. Éste es el momento en el que muchos deportistas comienzan a beber, Hardy no lo hizo, pero sin embargo comenzó a desesperarse. Se recuperó físicamente lo suficiente como para jugar unos diez minutos al tenis o divertirse con su placentera variante de los bolos (con un complicado conjunto de reglas) al estilo del Trinity. Pero con frecuencia era difícil avivar su interés, mientras que tres o cuatro años antes su ilusión por todo era tan chispeante como para cansarnos a todos nosotros. «Nadie debería aburrirse nunca», había sido uno de sus axiomas. «Se puede estar horrorizado o disgustado, pero no aburrido». Sin embargo, ahora se encontraba a menudo simplemente aburrido.

Fue ésa la razón por la que alguno de sus amigos, entre los que me incluía, le animamos a que escribiese la historia de Bertrand Russell y el Trinity durante la guerra de 1914-18. Las personas que no sabían lo deprimido que Hardy se encontraba, pensaron que este episodio estaba olvidado y que no debía ser desenterrado. Lo cierto fue que le animó tener algún tipo de tarea que hacer. El libro circuló privadamente y nunca ha estado a disposición del público, lo que es una pena, ya que se trata de una pequeña aportación a la historia académica.

Utilicé toda mi capacidad persuasiva para intentar conseguir que escribiera un libro que, en los tiempos felices, me había prometido escribir. Se iba a llamar A Day at the Oval[39], e iba a tener como protagonista al propio Hardy viendo jugar al criquet un día entero al tiempo que se extendía en disquisiciones sobre el juego, la naturaleza humana, sus recuerdos y la vida en general. Hubiera sido un clásico excéntrico y menor, pero nunca fue escrito.

No fui de mucha ayuda para él en esos últimos años. Durante el período de la guerra, yo estaba muy atareado con mis actividades en Whitehall[40], me encontraba preocupado y a menudo muy cansado y era un esfuerzo viajar a Cambridge. Pero debí de haberme esforzado más de lo que lo hice. Tengo que admitir con remordimiento que hubo entre nosotros no exactamente un enfriamiento de nuestra amistad, pero sí un paréntesis en nuestra mutua estima. Me prestó su piso en Pimlico durante toda la guerra (un piso oscuro y desaseado situado frente a los jardines de St George’s Square y que, según él, tenía encanto del tipo «brandy viejo»). Pero no le gustó que me comprometiese totalmente con el esfuerzo bélico, ya que no le gustaba que la gente a la que apreciaba se dedicase de lleno a funciones militares. Nunca me preguntó por mi trabajo ya que no quería hablar sobre la guerra, mientras que yo por mi parte estaba impaciente y no le mostré demasiada consideración, pues pensaba, después de todo, que ya que tenía que hacer ese trabajo y que no lo estaba haciendo por diversión, lo más importante era sacar el mejor provecho posible. Pero esto no es una excusa.

No regresé a Cambridge al finalizar la guerra, pero le visité varias veces en 1946. Su depresión no había remitido, físicamente también había decaído y la respiración le fallaba tras un corto paseo. El agradable y largo recorrido por Parker’s Piece después de acabar el partido se había terminado para siempre, y le tuve que acercar en taxi a su casa en el Trinity. Se alegró de que hubiese vuelto a escribir libros, ya que para él una vida de creación era la única posible para una persona cabal. En cuanto a él, le hubiese gustado volver de nuevo a ese tipo de vida, aunque fuese tal como había sido; pero ahora era su propia vida la que se acababa.

No estoy citando sus palabras exactas, ya que éstas eran tan desacostumbradas en él que preferí olvidarlas, e intenté, por una especie de ironía, cubrir con un velo lo que había sido dicho, de tal forma que nunca lo he recordado con precisión. Intenté rechazarlas como si se tratase de un florilegio retórico.

Me encontraba desayunando a principios del verano de 1947 cuando sonó el teléfono. Era la hermana de Hardy: éste estaba seriamente enfermo y se preguntaba si yo podría ir inmediatamente a Cambridge, pero pasando antes por el Trinity. No comprendí en ese momento el significado del segundo deseo, pero obedecí, y en la portería del Trinity encontré esa mañana una nota de ella en la que me pedía que fuera a las habitaciones de Donald Robertson, que estaría esperándome.

Donald Robertson era catedrático de griego y amigo íntimo de Hardy. Era otro miembro del excelso, liberal y elegante Cambridge eduardiano, y además era una de las pocas personas que llamaba a Hardy por su nombre de pila. Me saludó serenamente. A través de las ventanas de su habitación se percibía una mañana soleada y en calma. Me dijo: «Debería saber que Harold ha intentado suicidarse».

Sí, estaba fuera de peligro, por el momento se encontraba bien, si estas palabras se pudiesen emplear dado el caso. Pero Donald era, aunque de una forma menos incisiva, tan franco como el propio Hardy: era una pena que el intento hubiera fallado, porque la salud de Hardy había empeorado y, en cualquier caso, no podría vivir demasiado; incluso el ir de su habitación al comedor del Trinity se había convertido en un suplicio. Su elección había sido deliberada ya que no podía soportar vivir en esas condiciones, para él ésa no era vida. Había acumulado barbitúricos suficientes, intentó hacer un trabajo definitivo pero ingirió una dosis excesiva para sus fines.

Yo sentía estima por Donald Robertson, pero sólo había coincidido con él en fiestas o en el comedor del Trinity. Ésta era la primera ocasión en la que hablábamos íntimamente, y me dijo, con amable firmeza, que debería visitar a Hardy tan a menudo como me fuera posible. Sería duro hacerlo, pero era una obligación, que además probablemente no iba a durar demasiado. Estábamos los dos abatidos, le dije adiós y nunca volví a verle.

Hardy descansaba en una cama de la clínica Evelyn. Por si fuera poco tenía un ojo morado, ya que se había golpeado la cabeza contra el lavabo cuando estaba vomitando los barbitúricos. Se burlaba de sí mismo. Había fracasado en su intento. ¿Había alguien organizado un lío mayor? Tuve que entrar en aquel juego sarcástico. Nunca me había sentido menos inclinado a ello, pero lo tuve que hacer. Charlé sobre otros fracasos distinguidos en intentos de suicidio. Así, en la última guerra, los generales alemanes Beck y Stulpnagel habían sido claramente incompetentes al intentarlo. Era extraño escucharme decir estas cosas, que curiosamente parecieron alegrarle.

Después de esta visita, iba a Cambridge al menos una vez a la semana. Temía cada visita, pero Hardy no tardó en decir que le gustaba verme. Casi todas las veces que le vi hablaba un poco sobre la muerte. La deseaba, no la temía, ¿qué había que temer de la nada? Su duro estoicismo intelectual había regresado y no volvería a intentar suicidarse otra vez, ya que no sabía hacerlo. Estaba dispuesto a esperar. Con una inconsecuencia que podría haberle afligido (porque él, como la mayor parte de su círculo, creía en lo racional hasta un extremo que yo consideraba irracional) mostraba una intensa curiosidad hipocondríaca sobre sus propios síntomas. Miraba constantemente el edema que tenía en los tobillos: ¿había aumentado o disminuido ese día?

Sin embargo, la mayor parte del tiempo que estaba con él, es decir, cincuenta y cinco minutos de cada hora, yo tenía que hablar de criquet.

Era su único consuelo y tenía que simular una devoción por este juego que yo ya no sentía. En realidad, mi afición por él era ya tibia en los años 30 y la había mantenido por el placer de su compañía. Ahora tenía que analizar los resultados del criquet tan intensamente como lo hacía cuando era estudiante, ya que aunque él no podía leer, hubiera descubierto si lo estaba engañando. A veces, y durante algunos minutos, volvía a aparecer su antigua vivacidad, pero si yo no podía encontrar otro tema de conversación u otra noticia, permanecía acostado, con ese tipo de sombría soledad en que se sumergen algunas personas antes de fallecer.

Intenté elevarle los ánimos un par de veces. ¿No merecería la pena, a pesar del riesgo, ir a ver juntos otro partido de criquet? Le comenté que mi situación económica había mejorado y que estaba preparado para llevarle en taxi, ese viejo medio de transporte suyo, a cualquier campo de criquet que dijera. Al oír esto se alegró y me dijo que podría encontrarme con una persona muerta en mis manos. Le repliqué que estaba preparado para arreglármelas. Yo creía que podría venir, pues él y yo sabíamos que su muerte era sólo cuestión de meses y quería verle disfrutar de una tarde en que sintiese algo parecido a la alegría. La siguiente vez que le visité movió la cabeza con tristeza y enfado. No, no lo intentaría, no tenía sentido intentarlo.

Era bastante duro para mí tener que hablar de criquet, pero más lo era para su hermana, una encantadora e inteligente mujer que nunca se había casado y que había pasado la mayor parte de su vida cuidándole. Con graciosa habilidad, no muy diferente de la que era habitual en él, reunía todas las noticias de criquet que podía encontrar, aunque ella jamás había aprendido nada sobre este juego.

En una o dos ocasiones salió a relucir su gusto sarcástico por la comedia humana. Dos o tres semanas antes de su muerte se enteró de que la Royal Society le iba a conceder su más alta distinción, la medalla Copley. Fue la primera vez en todos estos meses que su sonrisa mefistofélica lució en todo su esplendor: «Ahora sé que debo estar bastante cerca del final. Cuando la gente se da prisa para concederte galardones honoríficos, sólo se puede extraer una conclusión».

Después de escucharle esto creo que le visité todavía dos veces, la última de ellas cuatro o cinco días antes de su muerte. Había un equipo indio que había ido a jugar a Australia y estuvimos hablando sobre ello.

Esa misma semana le dijo a su hermana: «Aunque supiera que iba a morir hoy, creo que todavía querría escuchar los resultados del criquet».

Consiguió algo muy parecido. Esa semana, todos los días por la noche antes de marcharse, ella le leía un capítulo de una historia del criquet en la Universidad de Cambridge. En uno de esos capítulos estaban las últimas palabras que escuchó, ya que murió repentinamente muy de mañana.

* * * *

Prefacio

Estoy en deuda con el profesor C. D. Broad y con el doctor C. P. Snow por sus muchas y valiosas críticas, después de leer ambos mi manuscrito original. He incorporado la mayor parte de casi todas sus sugerencias a mi texto y así he eliminado de él un buen número de imperfecciones y puntos oscuros.

Sólo en un caso concreto he tratado estas sugerencias de una forma diferente. La sección 28 está basada en un breve artículo que publiqué a principios de año en la revista Eureka (de la Cambridge Archimedean Society) y me ha parecido imposible reelaborar lo que había escrito tan recientemente y con tanto cuidado. Además, si hubiera intentado abordar adecuadamente tan importante sugerencia, debería de haber extendido dicha sección tanto como para hacer peligrar el equilibrio de esta obra. La he mantenido, por tanto, sin cambios, pero he añadido una breve nota al final del libro con los argumentos principales de mis mencionados críticos.

G. H. H.

18 de julio de 1940

Acápites

§ 1

Es una experiencia melancólica para un matemático profesional encontrarse a sí mismo escribiendo sobre matemáticas. La función de un matemático es hacer algo, es probar nuevos teoremas, es contribuir a las matemáticas y no hablar sobre lo que él u otros matemáticos han hecho. Los estadistas desprecian a los publicistas, los pintores menosprecian a los críticos de arte, y fisiólogos, físicos o matemáticos tienen normalmente sentimientos parecidos; no hay desprecio más profundo, o en su conjunto más justificable, que aquél que sienten los hombres que crean hacia los hombres que explican. La exposición, la crítica y la apreciación son tareas para mentes de segunda clase.

Recuerdo haber discutido este punto una vez en una de las pocas conversaciones serias que tuve con Housman. Éste, en la conferencia magistral en recuerdo de Leslie Stephen titulada El nombre y la naturaleza de la poesía, rechazó muy enfáticamente que él fuera un «crítico»; pero lo negó de una forma que a mí me parece singularmente perversa, pues expresó una admiración por la crítica literaria que me asustó y escandalizó.

Comenzó con una cita de su primera clase, impartida veintidós años antes:

No puedo decir si la facultad de la crítica literaria es el mayor regalo que el cielo guarda entre sus tesoros; pero el cielo debe pensarlo así porque es el don concedido más parcamente. Los oradores y los poetas…, aunque poco frecuentes en comparación con las zarzamoras, son más abundantes que los regresos del cometa Halley: los críticos literarios son aún menos abundantes…

Y continuaba:

En estos veintidós años he mejorado en algunos aspectos y empeorado en otros, pero no he mejorado tanto como para convertirme en un crítico literario, ni he empeorado tanto como para imaginarme que me he convertido en uno.

Me pareció deplorable que un gran académico y un exquisito poeta hubiera podido escribir esto, y cuando varias semanas después me encontré situado a su lado en el Hall me lancé a exponerle mi opinión. ¿Pretendía que lo que había dicho fuese tomado en serio? ¿Era para él realmente comparable la vida del mejor de los críticos con la de un académico y un poeta? Discutimos estas cuestiones durante toda la cena y pienso que al final estaba de acuerdo conmigo. No intento reclamar un triunfo dialéctico sobre un hombre que ya no me puede contradecir, pero «Quizá no enteramente» fue al final su contestación a la primera pregunta y «Probablemente no» su respuesta a la segunda.

Puede haber existido alguna duda sobre los sentimientos de Housman y yo no deseo pretender que esté de mi lado, pero no hay ninguna duda sobre los sentimientos de los hombres de ciencia, que comparto plenamente. Así pues, si me encuentro a mí mismo no escribiendo matemáticas sino sobre matemáticas, esto es una confesión de debilidad por la que puedo correctamente ser despreciado o compadecido por los matemáticos más jóvenes y vigorosos. Escribo sobre matemáticas porque, como cualquier otro matemático que ha sobrepasado los sesenta, no tengo ya la frescura mental, la energía o la paciencia necesarias para realizar de un modo efectivo mi propio trabajo.

§ 2

Tengo la intención de presentar una apología de las matemáticas aunque me digan que no es necesario porque ahora hay algunos estudios reconocidos generalmente, por buenas o malas razones, como beneficiosos y dignos de elogio. Esto puede ser verdad y, por supuesto, desde los sensacionales descubrimientos de Einstein es probable que la astronomía y la física atómica sean las únicas disciplinas científicas que se encuentren por encima en la estimación pública. Un matemático no necesita ahora estar a la defensiva. No tiene por qué encontrar la clase de oposición descrita por Bradley en la admirable defensa de la metafísica que forma parte de la introducción a su obra Apariencia y Realidad.

Dice Bradley que un metafísico va a escuchar que «el conocimiento metafísico es totalmente imposible» o que «incluso si es posible hasta un cierto grado, no merece tener el nombre de conocimiento». «Los mismos problemas», oirá decir, «las mismas disputas, el mismo fracaso total. ¿Por qué no abandonar y dejarlo? ¿No hay nada mejor que merezca tu esfuerzo?». No hay nadie tan estúpido como para utilizar este tipo de lenguaje en relación con las matemáticas. La cantidad de conocimientos matemáticos es imponente y sus aplicaciones prácticas, como puentes, máquinas de vapor y dinamos, se imponen en la mente más obtusa. La gente no necesita ser convencida de que hay algo en las matemáticas.

Todo esto es muy reconfortante para los matemáticos, pero uno genuino difícilmente estará contento con ello. Cualquier matemático genuino debe sentir que la razón de ser de las matemáticas no se apoya en estos logros, que la reputación popular de que gozan las matemáticas se basa principalmente en la ignorancia y la confusión, y que hay todavía espacio para una defensa más racional. En cualquier caso, estoy dispuesto a intentar hacerla. Debería de ser una tarea más simple que la difícil apología de Bradley.

Debería entonces preguntar: ¿por qué merece la pena hacer un estudio serio de las matemáticas?, y ¿cuál es la justificación de la vida de un matemático? Y mis respuestas serán, en su mayor parte, las que se pueden esperar de un matemático: pienso que merece la pena y que tiene una amplia justificación. Debo decir inmediatamente que mi defensa de las matemáticas va a ser una defensa de mí mismo y que mi apología no puede evitar ser, hasta cierto punto, egoísta. No tendría sentido que yo las justificase si me considerase a mí mismo como uno de sus fracasos.

Algún egoísmo de este tipo es inevitable y no pienso que realmente necesite disculpa. El trabajo bien hecho no es obra de personas «humildes». Por ejemplo, una de las primeras obligaciones de un profesor es exagerar un tanto la importancia de su asignatura como su propia importancia dentro de ella. Una persona que se pregunta continuamente «¿merece la pena lo que hago?» y «¿soy la persona adecuada para hacerlo?» será siempre ineficaz para sí y desmotivador para los demás. Debe cerrar un poco los ojos a la realidad y valorarse a sí mismo y a su asignatura un poco más de lo que merecen. Esto no es demasiado difícil: más duro es no hacer que parezcan ridículos por cerrar completamente los ojos.

§ 3

Un hombre que se lanza a justificar su existencia y sus actividades tiene que hacerse dos preguntas. La primera es plantearse si el trabajo que hace merece la pena, la segunda es preguntarse por qué lo hace, cualquiera que sea su valor. La primera pregunta es a menudo muy difícil y su respuesta muy descorazonadora; pero a la mayor parte de la gente incluso le parecerá bastante fácil responder a la segunda. Si son honestos, sus respuestas serán de dos formas, siendo una de ellas una ligera variante de la otra, que es la única explicación que tenemos que tomar en serio.

1.- «Hago lo que hago porque es la única cosa que yo puedo hacer bien. Soy abogado, agente de bolsa o jugador profesional de criquet porque tengo cierto talento para este trabajo en particular. Soy abogado porque tengo facilidad de palabra y me interesan las sutilezas legales; soy agente de bolsa porque mi opinión sobre los mercados es rápida y fiable; soy jugador profesional de criquet porque puedo golpear la pelota inusualmente bien. Estoy de acuerdo en que sería mejor ser poeta o matemático, pero desafortunadamente no tengo el talento necesario para tales ocupaciones».

No estoy sugiriendo que este tipo de defensa la pueda efectuar la mayor parte de la gente, pues la mayor parte de ésta no puede hacer bien nada en absoluto. Pero esta justificación es incontestable cuando es hecha sin caer en el absurdo, es decir, cuando proviene de una minoría sustancial; quizá un 5 ó incluso un 10 por ciento de las personas están capacitados para hacer algo bastante bien. Son una ínfima minoría los que pueden hacer algo realmente bien, y, entre ellos, una proporción insignificante los que pueden hacer dos cosas bien. Si una persona tiene un genuino talento debe estar dispuesto a hacer casi cualquier sacrificio para desarrollarlo plenamente.

Este punto de vista fue respaldado por el doctor Johnson:

Cuando le dije que había visto a Johnson (su homónimo) montar sobre tres caballos, él dijo «un hombre de este tipo debe ser alentado pues sus exhibiciones muestran la capacidad de las fuerzas humanas…»

y de la misma forma hubiera alabado a escaladores, nadadores que cruzan a nado el Canal de la Mancha y jugadores de ajedrez a ciegas. Por mi parte, estoy de acuerdo con cualquier tentativa encaminada a conseguir logros como éstos. Soy solidario incluso con magos y ventrílocuos y cuando personas como Alekhine y Bradman se proponen batir marcas me siento amargamente desilusionado si fracasan. En este caso, tanto el doctor Johnson como yo tenemos los mismos sentimientos que la gente en general. Como W. J. Turner ha dicho tan acertadamente, sólo los pedantes que miran por encima del hombro no admiran a los «auténticos protagonistas».

Tenemos que tener en cuenta, por supuesto, las diferencias de valor entre las distintas actividades. Yo preferiría ser novelista o pintor antes que estadista o persona de rango similar, y muchos de los caminos que llevan a la fama serían rechazados por perniciosos por la mayor parte de nosotros. Sin embargo, lo raro es que tales diferencias de valor cambien la elección profesional de una persona, que será casi siempre dictada por las limitaciones de sus habilidades naturales. La poesía es más valorada que el criquet, pero Bradman estaría loco si fuera a sacrificar su carrera en el criquet para ponerse a escribir poesía de segunda clase (porque supongo que es improbable que lo pudiera hacer mejor). Si para estas personas el criquet fuera menos importante y la poesía más, entonces la elección podría ser más difícil. Yo no sé si preferiría haber sido Victor Trumper o Rupert Brooke. Afortunadamente, tales dilemas raramente se le presentan a un matemático. Es habitual exagerar enormemente las diferencias entre los procesos mentales de los matemáticos y los del resto de la gente, pero es innegable que el talento para las matemáticas es uno de los más especializados, y que los matemáticos como grupo no se distinguen particularmente por su habilidad general y su versatilidad. Si una persona es, de alguna forma, un matemático auténtico, entonces existe una proporción de cien contra uno de que sus matemáticas resulten mucho mejores que cualquier otra cosa que haga, y resultaría estúpido si dejase pasar cualquier oportunidad de practicar su único talento para realizar un trabajo indiferenciado en cualquier otro campo. Tal sacrificio sólo se puede justificar por necesidades económicas o por la edad.

§ 4

Es mejor que comente aquí algo sobre el tema de la edad, pues es particularmente importante para los matemáticos. Ningún matemático debe permitirse olvidar que las matemáticas, más que cualquier otro arte o ciencia, son un asunto de jóvenes. Como sencillo ejemplo ilustrativo, se puede decir que la edad media a la que son elegidos los matemáticos que forman parte de la Royal Society es la más baja de todos los miembros.

Podemos naturalmente encontrar ejemplos más sorprendentes. Consideremos, por ejemplo, la trayectoria de un hombre que ciertamente fue uno de los tres matemáticos más grandes del mundo. Newton dejó las matemáticas a los 50 años, habiendo perdido su entusiasmo por ellas bastante antes. Sin duda alguna, se dio perfecta cuenta a los cuarenta años de que sus grandes días creativos pertenecían ya al pasado. Sus ideas más grandes, las fluxiones y la ley de la gravedad, las desarrolló hacia 1666, cuando tenía 24 años, «en aquellos días me encontraba en el mejor momento para crear, y estaba más dispuesto hacia las matemáticas y la filosofía que en cualquier otro momento desde entonces». Hizo grandes descubrimientos hasta casi los cuarenta (la órbita elíptica a los 37), pero después hizo poco más que pulir y perfeccionar.

Galois murió a los 21, Abel a los 27, Ramanujan a los 33 y Riemann a los 40. Ha habido matemáticos que han llevado a cabo una obra maestra bastante más tarde; la magna obra de Gauss sobre la geometría diferencial se publicó cuando tenía 50 años (aunque había tenido las ideas fundamentales 10 años antes). No conozco un ejemplo de un avance matemático de importancia desarrollado por una persona que haya superado los 50. Si una persona madura pierde su interés y abandona las matemáticas, es probable que la pérdida no sea demasiado importante ni para las matemáticas ni para él.

Por otro lado, la ganancia no es probable que sea sustancial: las últimas actividades de los matemáticos que abandonaron las matemáticas no son especialmente motivadoras. Newton fue un Master of the Mint bastante competente (cuando no se estaba peleando con alguien). Painlevé no tuvo éxito como Presidente del Gobierno francés. La carrera política de Laplace fue altamente deshonrosa, aunque no se puede tomar como un buen ejemplo, pues fue antes deshonesto que incompetente y, además, nunca «dejó» realmente las matemáticas. Es muy difícil encontrar un ejemplo de un matemático de primera fila que haya abandonado las matemáticas y obtenido un reconocimiento de alto nivel en otro campo. Quizá haya habido jóvenes que hubieran sido matemáticos de primer nivel si hubieran continuado sin interrupción su labor matemática, pero nunca he oído un ejemplo realmente verosímil. Todo esto está confirmado por mi propia y limitada experiencia. Todos los jóvenes matemáticos de talento que he conocido, han permanecido fieles a las matemáticas, y no por falta de ambición, sino por exceso de ella; todos han reconocido que en las matemáticas se encontraba, de alguna manera, el camino hacia una trayectoria vital destacable.

§ 5

Existe también lo que yo he llamado la «variante sencilla» de la apología, pero la puedo refutar en unas pocas palabras.

2.- «No hay nada que yo pueda hacer especialmente bien. Hago lo que hago porque se interpuso en mi camino. En realidad, nunca tuve una oportunidad de hacer algo diferente». Esta justificación la acepto como concluyente. Es bastante cierto que la mayor parte de la gente no puede hacer nada bien. Si esto es así, importa poco que profesión eligen, y no hay nada más que decir sobre ello. Es una respuesta concluyente, pero que difícilmente asumirá una persona con algo de orgullo; puedo asumir que ninguno de nosotros estaría satisfecho con ella.

§ 6

Ha llegado el momento de empezar a pensar sobre la primera pregunta que formulé en la sección 3, y que es bastante más difícil que la segunda: ¿Merece la pena trabajar en matemáticas, al menos en lo que yo y otros matemáticos entendemos por matemáticas? Y, si eso es así, ¿por qué?

He vuelto a mirar las primeras páginas de la clase inaugural que pronuncié en Oxford en 1920. Allí hay un esbozo de una apología de las matemáticas. Es un texto muy inadecuado (ocupa menos de un par de páginas) y está escrito en un estilo (un primer ensayo, supongo, de lo que yo pensaba entonces que era el estilo de Oxford) del que no estoy especialmente orgulloso; pero todavía siento que, aunque necesite un desarrollo más amplio, aborda la parte esencial del asunto. Resumiré lo que dije entonces a modo de prólogo para un debate más amplio.

Empecé haciendo hincapié en la inocuidad de las matemáticas, «el estudio de las matemáticas es, si bien poco útil, una ocupación perfectamente inocente e inocua». Sigo pensando lo mismo, aunque obviamente ello va a necesitar de una buena dosis de desarrollo y explicación.

¿Son «improductivas» las matemáticas? En ciertos aspectos claramente no lo son pues, por ejemplo, proporcionan un gran placer a un gran número de personas. Estoy, sin embargo, hablando de «productividad» en un sentido restrictivo. ¿Son «útiles» las matemáticas, directamente útiles, como lo son otras ciencias como la química y la fisiología? Ésta no es una pregunta en absoluto fácil o poco controvertida y debería responderla con un no, aunque algunos matemáticos, y la mayor parte de los que no lo son, responderían sin dudar que sí. ¿Son inocuas las matemáticas? Nuevamente la respuesta no es obvia y hubiera preferido evitar la pregunta, pues plantea el problema global del efecto de la ciencia sobre la guerra. ¿Son las matemáticas inocuas en el sentido en que claramente no lo es, por ejemplo, la química? Volveré sobre ambas preguntas más adelante.

Continué diciendo que «el tamaño del universo es grande y, si estuviéramos malgastando nuestro tiempo, el despilfarro de las vidas de unos pocos profesores universitarios no es una catástrofe sobrecogedora»: aquí pudo parecer que adopté o pretendí adoptar la postura de exagerada humildad que repudié hace un momento. Estoy seguro de que ésta no era la intención que estaba realmente en mi mente; estaba intentando decir en una frase lo que ya he dicho en la sección 3 con mucha mayor amplitud. Estaba asumiendo que nosotros, los profesores, tenemos nuestro pequeño talento y que difícilmente podemos equivocarnos si dedicamos nuestros mejores esfuerzos a desarrollarlo plenamente.

Finalmente (en lo que ahora me parecen unas frases terriblemente retóricas), enfaticé la permanencia de los logros matemáticos:

Lo que hacemos puede ser pequeño, pero tiene un cierto carácter de permanencia; y el haber producido algo perdurable, aunque sea del más mínimo interés, ya sean unos versos originales o un teorema geométrico, es haber hecho algo que es inalcanzable para las posibilidades de la inmensa mayoría de las personas.

Y

En estos días de conflicto entre los saberes antiguos y modernos, seguramente que puede decirse algo sobre una ciencia que no empezó con Pitágoras, y que no acabará con Einstein, pero que es la más vieja y la más joven de todas.

Todo esto es «retórica», pero su sustancia me parece que todavía suena a verdadera, y puedo desarrollarla inmediatamente sin que ello prejuzgue nada sobre las otras preguntas que quedan abiertas.

§ 7

Asumo que escribo para lectores que están llenos, o han estado llenos en el pasado, de un auténtico espíritu de ambición. La primera obligación de una persona, y en particular de un joven, es ser ambicioso. La ambición es una pasión noble que legítimamente puede presentar varias formas; había alguna nobleza en la ambición de Atila o de Napoleón, pero la ambición más noble es la de dejar tras de sí algo que tenga un valor permanente.

Aquí, sobre la lisa arena,

Entre el mar y la tierra,

¿Qué construiré o crearé

Para detener la caída de la noche?

Dime qué runas se han de grabar

Que detengan la rompiente ola,

O qué bastiones se han de trazar

Que me sobrevivan.

La ambición ha sido la fuerza motriz de casi todos los logros de este mundo. En particular, prácticamente todas las contribuciones sustanciales a la felicidad humana han sido hechas por hombres ambiciosos. Por poner dos ejemplos famosos, ¿no eran Lister y Pasteur ambiciosos? O, a un nivel más modesto, ¿no lo eran King Gillette, William Willett y todos los que más han contribuido recientemente al bienestar humano?

La fisiología nos proporciona ejemplos especialmente buenos, tal vez porque se trata de una ciencia que es, obviamente, «provechosa». Debemos guardarnos contra una falacia común entre los apologistas de la ciencia: la de suponer que las personas cuyo trabajo más beneficia a la humanidad piensan mucho en ello mientras lo hacen y que los fisiólogos, por ejemplo, tienen un alma particularmente noble. Un fisiólogo puede, por supuesto, alegrarse al pensar que su trabajo beneficiará a la humanidad, pero los motivos que le dan la fuerza y la inspiración necesarias para ello no se diferencian de aquéllos que impulsan a un estudioso del mundo clásico o a un matemático.

Hay muchos motivos altamente respetables que pueden llevar a las personas a insistir en investigar, pero hay tres que son mucho más importantes que los demás. El primero (sin el cual el resto no tiene razón de ser) es la curiosidad intelectual, el deseo de conocer la verdad. Luego, el orgullo profesional, la ansiedad por estar satisfecho con el propio rendimiento, la vergüenza que embarga a cualquier artífice que se respete a sí mismo cuando su trabajo es indigno de su talento. Finalmente, la ambición, el deseo de conseguir una buena reputación y una posición, o incluso el poder o el dinero que ello comporta. Cuando uno ha realizado su trabajo, puede ser bueno sentir que se ha contribuido a aumentar la felicidad o a aliviar los sufrimientos de otros, pero ésa no es la razón por la que se hizo. Si un matemático, un químico o incluso un fisiólogo me dijeran que la fuerza motora de su trabajo ha sido el deseo de beneficiar a la humanidad, no les creería (ni mejoraría mi opinión sobre ellos si así lo hicieran). Sus motivos dominantes han sido los que he apuntado antes, en los que seguramente no hay nada de lo que una persona decente deba avergonzarse.

§ 8

Si la curiosidad intelectual, el orgullo profesional y la ambición son los incentivos dominantes en cualquier investigación, entonces es indudable que nadie tiene una mejor oportunidad de ver gratificado su trabajo que un matemático. Su materia es la más estimulante de todas; no hay ninguna otra en que la verdad juegue tan extrañas bromas. Tiene la técnica más desarrollada y fascinante y proporciona un sinfín de oportunidades de mostrar las más completas habilidades profesionales. Finalmente, como la historia prueba abundantemente, los logros en matemáticas, independientemente de su valor intrínseco, son los más perdurables.

Podemos ver esto incluso en civilizaciones protohistóricas. Las civilizaciones babilónica y asiria han perecido; Hammurabi, Sargon y Nabucodonosor son hoy nombres vacíos, pero las matemáticas babilónicas son todavía interesantes y el sistema sexagesimal de numeración se utiliza todavía en astronomía. Aunque, por supuesto, el ejemplo más crucial nos lo proporcionan los griegos.

Los griegos son los primeros matemáticos, todavía hoy «vigentes» entre nosotros. Las matemáticas orientales pueden ser una curiosidad interesante, pero las matemáticas griegas son la auténtica realidad. Los griegos utilizaron por primera vez un lenguaje matemático que todavía los matemáticos de hoy pueden entender; como Littlewood me dijo una vez, no son colegiales listos o candidatos a becarios, sino «catedráticos de otra universidad». Así pues, las matemáticas griegas «perduran» más incluso que la literatura griega. Arquímedes será recordado cuando Esquilo haya sido olvidado, porque las lenguas mueren y las ideas matemáticas no.

La «inmortalidad», signifique lo que signifique, puede ser una palabra absurda, pero un matemático tiene, probablemente, la mejor oportunidad de alcanzarla.

Tampoco debe temer seriamente que el futuro sea injusto con él. La inmortalidad es a menudo ridícula o cruel: pocos de nosotros escogerían ser Og, Ananías o Galio. Incluso en matemáticas, la historia juega a veces extrañas pasadas. Rolle figura en los libros de texto de cálculo elemental como si hubiera sido un matemático de la talla de Newton; Farey es inmortal porque no consiguió comprender un teorema que Haros había demostrado perfectamente catorce años antes; los nombres de cinco respetables noruegos todavía figuran en la Vida de Abel, debido a un acto estúpido realizado sumisamente a costa del hombre más grande de su país. Pero vista en conjunto, la historia de la ciencia es justa y esto es particularmente cierto en matemáticas. Ninguna otra materia tiene pautas de valoración tan claramente definidas y tan unánimemente aceptadas; y las personas que son recordadas son casi siempre las que lo merecen. La fama matemática, si se tiene el dinero en efectivo para pagar por ella, es una de las inversiones más firmes y sólidas.

§ 9

Todo esto es muy reconfortante para los profesores y, especialmente, para los de matemáticas. Ha sido sugerido a veces, por abogados, políticos u hombres de negocios que una carrera académica es buscada principalmente por personas cautas y sin ambición que se preocupan sobre todo por su bienestar y seguridad. Este reproche está fuera de lugar. Un profesor renuncia a algo y, en particular, a la posibilidad de ganar grandes sumas de dinero; es muy difícil que un profesor gane más de 2000 libras al año y la estabilidad en el puesto de trabajo es una de las consideraciones que hacen la renuncia anterior más fácil. No es éste el motivo por el que Housman hubiera renunciado a carreras como las de Lord Simon o Lord Beaverbrook. Él las hubiera rechazado por su ambición, porque habría despreciado ser un hombre que iba a ser olvidado antes de 20 años.

Sin embargo, qué penoso es sentir que, a pesar de todas estas ventajas uno puede fracasar. Puedo recordar a Bertrand Russell contándome un terrible sueño. Estaba en el último piso de la biblioteca de la universidad, y corría el año 2100. Un asistente de la biblioteca iba recorriendo los estantes llevando un enorme cubo de basura, iba sacando libro tras libro, les echaba un vistazo y, o bien los devolvía a su sitio o bien los arrojaba al cubo. Finalmente, llegó a tres grandes volúmenes que Russell pudo reconocer como la última copia existente de los Principia Mathematica. Sacó uno de los volúmenes, pasó unas cuantas páginas, por un momento pareció sorprendido por los curiosos símbolos, cerró el volumen, lo sopesó en su mano, titubeó…

§ 10

Un matemático, lo mismo que un pintor o un poeta es un constructor de modelos. Si éstos son más permanentes que otros es porque están hechos con ideas. Un pintor realiza modelos con formas y colores, un poeta lo hace con palabras. Un cuadro quizá exprese alguna «idea», pero lo normal es que ésta sea un lugar común o no tenga importancia. En la poesía, las ideas desempeñan un papel mayor; pero, como Housman indica, habitualmente se exagera la importancia de las ideas en poesía: «no me convence que se diga que existen cosas tales como las ideas poéticas… La poesía no es lo que se dice, sino la forma de decirlo».

No basta todo el agua del encrespado y furioso mar

Para lavar el bálsamo con que un rey ha sido ungido

¿Podrían estos versos mejorarse y, sin embargo, podrían sus ideas ser al mismo tiempo más gastadas y más falsas? Su pobreza de ideas, difícilmente parece que afecta a la belleza verbal. Por otra parte, un matemático no tiene otro material para trabajar más que ideas, y, por tanto, sus modelos es probable que duren más tiempo, ya que las ideas envejecen más lentamente que las palabras.

Los modelos de un matemático, al igual que los de un pintor o un poeta deben ser hermosos; las ideas, como los colores o las palabras, deben ensamblarse de una forma armoniosa. La belleza es la primera señal, pues en el mundo no hay un lugar permanente para las matemáticas feas. En este punto, debo referirme a una interpretación errónea que está todavía ampliamente difundida (aunque probablemente mucho menos ahora de lo que lo estaba hace 20 años), que es lo que Whitehead llamó la «superstición literaria» de que el amor por las matemáticas y su apreciación estética son «una monomanía limitada a unos pocos excéntricos dentro de cada generación».

Sería difícil encontrar ahora a una persona educada que sea totalmente insensible a la atracción estética de las matemáticas. Puede ser muy arduo definir la belleza matemática, pero eso mismo sucede con cualquier otro tipo de belleza. Quizá no conozcamos exactamente qué entendemos por un poema hermoso, pero no nos impide reconocerlo cuando lo leemos. Incluso el profesor Flogben, que a toda costa quiere minimizar la importancia del elemento estético en las matemáticas, no se atreve a negar su realidad. «Sin duda, hay individuos sobre los que las matemáticas ejercen una atracción fríamente impersonal… La atracción estética de las matemáticas puede ser muy cierta en el caso de unos pocos elegidos». Pero Hogben sugiere que son «pocos» y se comportan «fríamente» (y además son gente bastante ridícula, que vive en pequeñas y estúpidas ciudades universitarias, protegidas de las brisas frescas que corren por los amplios espacios abiertos). En esto, está meramente repitiendo la «superstición literaria» de Whitehead. Lo cierto es que pocos temas son más populares que las matemáticas. La mayor parte de la gente tiene un cierto aprecio por ellas, de la misma forma que la mayor parte de la gente puede disfrutar escuchando una melodía agradable; y es bastante probable que haya más gente que esté realmente interesada por las matemáticas que por la música. Las apariencias pueden sugerir lo contrario, pero es fácil explicarlo. La música puede usarse para estimular la emoción de la gente, mientras que las matemáticas no; además, la incapacidad para la música es considerada (sin duda correctamente) como algo medianamente deshonroso, mientras que la mayor parte de la gente está tan atemorizada por la reputación de las matemáticas, que están dispuestos, con bastante sinceridad, a exagerar su propia ignorancia sobre la materia.

Una pequeña reflexión es suficiente para dejar al descubierto lo absurdo de la «superstición literaria». En todo país civilizado, y en Rusia casi la totalidad de la población educada, hay un gran número de jugadores de ajedrez, y cada uno de ellos puede reconocer y apreciar una partida o un problema hermoso. Sin embargo, un problema de ajedrez es simplemente un ejercicio de matemáticas puras (una partida no lo es del todo porque la psicología también juega un papel importante) y todo aquél que afirme que un problema es «hermoso» está aplaudiendo a la belleza matemática incluso si esta belleza es de un tipo comparativamente bajo. Los problemas de ajedrez son como las melodías de himnos de las matemáticas.

Podemos aprender la misma lección del bridge, aunque a un nivel inferior y para un público más amplio; o incluso, bajando aún más, de las secciones de pasatiempos de los periódicos. Ciertamente, toda su inmensa popularidad es un tributo al poder de representación de las matemáticas elementales, y los mejores creadores de pasatiempos tales como Dudeney o «Caliban», utilizan pocas cosas más. Conocen su oficio y saben que lo que el público quiere es un pequeño «estímulo» intelectual, y ningún estímulo es mejor que el de las matemáticas.

Podría añadir que no hay nada en el mundo que produzca, incluso a personas famosas (personas que han empleado un lenguaje despreciativo hacia las matemáticas), un mayor placer que descubrir o redescubrir un auténtico teorema matemático. Herbert Spencer volvió a publicar en su autobiografía un teorema sobre círculos que había demostrado cuando tenía 20 años (sin saber que había sido probado por Platón más de 2.000 años antes). El profesor Soddy es un ejemplo más reciente y más sorprendente (pero su teorema es realmente suyo).

§ 11

Un problema de ajedrez forma parte de las matemáticas, pero, de alguna forma, se puede decir que es matemática «trivial». Aunque los movimientos sean ingeniosos y complejos, originales y sorprendentes, hay algo esencial que falta. Los problemas de ajedrez no son importantes. Las mejores matemáticas son tan serias como hermosas, o, si se prefiere, «importantes», aunque esta palabra es muy ambigua y la palabra «serias» expresa mucho mejor lo que quiero decir.

No estoy pensando en las consecuencias «prácticas» de las matemáticas. Volveré sobre ese punto más adelante; por el momento, sólo diré que, si un problema de ajedrez es, dicho sin ambages, «inútil», lo mismo se puede afirmar de la mayor parte de las mejores matemáticas, ya que muy poco de ellas tiene una utilidad práctica y esa pequeña parte es, comparativamente, aburrida. La «seriedad» de un teorema matemático no descansa en sus consecuencias prácticas, que son habitualmente mínimas, sino en el significado de las ideas matemáticas que enlaza. Podemos decir, grosso modo, que una idea matemática es «significativa» si puede ser relacionada de una forma natural y esclarecedora con un amplio grupo de ideas matemáticas. Así, un teorema matemático serio, un teorema que relaciona ideas significativas, es probable que conduzca a avances importantes tanto en las matemáticas como en otras ciencias. El desarrollo general del pensamiento científico no se ha visto influido nunca por un problema de ajedrez; sin embargo, su curso si fue modificado por Pitágoras, Newton o Einstein, que lo hicieron, en sus respectivas épocas, cambiar de dirección.

La seriedad de un teorema no radica en sus consecuencias, que son solamente la parte evidente de dicha seriedad. Shakespeare ejerció una influencia enorme en el desarrollo de la lengua inglesa; Otway, por el contrario, no ejerció casi ninguna; pero ello no se debe a que Shakespeare fuera mejor poeta, sino a que escribía mucha mejor poesía. La inferioridad de un problema de ajedrez, al igual que la de la poesía de Otway, no proviene de sus consecuencias, sino de su contenido.

Hay otro asunto que me gustaría refutar muy brevemente, no porque carezca de interés sino porque es un tema difícil, y no me siento cualificado para una discusión seria sobre estética. La belleza de un teorema matemático depende bastante de su seriedad, al igual que en poesía la belleza de un verso depende hasta cierto punto del significado de las ideas que expresa.

Cité antes dos versos de Shakespeare como ejemplo de la absoluta belleza de un modelo verbal, pero

Después de la caprichosa fiebre de la vida,

él duerme tranquilo

parece todavía más hermoso. Este modelo es tan bueno que agita nuestras emociones mucho más profundamente; además, sus ideas tienen un significado y su mensaje es razonable. Las ideas son importantes para el modelo, incluso en poesía; aunque lo son mucho más en matemáticas, pero no voy a argumentar formalmente este tema.

§ 12

Debe de estar ya bastante claro a estas alturas que si quiero seguir avanzando en mi argumentación, debo mostrar ejemplos de teoremas matemáticos «auténticos», teoremas que cualquier matemático admita que son de primera clase. Sin embargo, estoy sometido a las restricciones bajo las que escribo. Por una parte, mis ejemplos deben ser muy simples e inteligibles para un lector que no posea conocimientos matemáticos especializados; además, no deben necesitar complicadas explicaciones preliminares; y el lector debe ser capaz de seguir la demostración tan bien como el enunciado. Estas condiciones excluyen, por ejemplo, a muchos de los más hermosos teoremas de la teoría de números como el teorema de Fermat relativo a la ley de reciprocidad cuadrática, conocido también como teorema de la «suma de los dos cuadrados». Por otro lado, mis ejemplos tienen que ser extraídos de las «mejores» matemáticas, que son las matemáticas del matemático profesional; y esta condición excluye a una buena parte de las mismas, que sería relativamente fácil hacer inteligibles, pero que nos llevaría a adentrarnos en los campos de la lógica o de la filosofía matemática.

Por tanto, qué mejor que volver la vista hacia los griegos. Voy a enunciar y probar dos de los más famosos teoremas de las matemáticas griegas. Son teoremas «simples», tanto en su idea como en su ejecución, pero no hay ninguna duda de que son teoremas de la mayor categoría. Cada uno de ellos conserva la frescura y el significado del momento de su descubrimiento; y los más de 2000 años transcurridos no los han desgastado un ápice. Finalmente, ambos enunciados y sus demostraciones pueden ser dominados por un lector inteligente en una hora, aunque su preparación matemática sea escasa.

El primero es la demostración de Euclides de la existencia de un número infinito de números primos[41].

Los números primos, a los que abreviadamente llamaremos primos, son los números que no se pueden descomponer en producto de factores más pequeños[42].

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29… (1)

Así pues, por ejemplo, 37 y 317 son primos. Los primos son el material con el que mediante multiplicación se construyen todos los números, así 666 = 2 · 3 · 3 · 37. Todo número que no es primo es divisible al menos por un primo (normalmente lo será por varios). Tenemos que probar que hay infinitos números primos, es decir, que la serie (1) no tiene fin.

Supongamos que lo tuviera y que 2, 3, 5…, P es la serie completa (de tal forma que P es el primo mayor); y supongamos, en esta hipótesis, que existe un número Q definido por la fórmula

Q = ( 2 · 3 · 5 ··· P ) + 1

Es evidente que Q no es divisible ni por 2, ni por 3, ni por P porque el resto que se obtiene al dividir en todos estos casos es 1. Pero, como hemos supuesto que no es primo, ha de ser divisible por alguno y, por tanto, hay un primo (que puede ser el mismo Q) mayor que cualquiera de ellos. Lo que contradice nuestra hipótesis de que no hay un número primo mayor que P, y, por tanto, esta hipótesis es falsa.

La demostración es por reducción al absurdo. Y la reducción al absurdo, que a Euclides le gustaba tanto, es una de las mejores armas de un matemático[43]. Este gambito es mejor que cualquier gambito de ajedrez, pues un jugador de ajedrez puede ofrecer el sacrificio de un peón o incluso de otra pieza, pero un matemático ofrece la partida.

§ 13

Mi segundo ejemplo es la demostración de Pitágoras[44] de la irracionalidad de √2.

Un «número racional» es una fracción a / b donde a y b son números enteros; podemos suponer que a y b no tienen factor común, porque si lo tuvieran lo podríamos simplificar. Decir que √2 es irracional es simplemente otra forma de decir que 2 no se puede expresar de la forma ( a / b)2; y esto es lo mismo que decir que la ecuación

a^2 = 2 b^2 (2)

no se cumple para valores enteros de a y b que no tengan factor común. Éste es un teorema de aritmética pura que no precisa de ningún conocimiento sobre «números irracionales» ni depende de ninguna teoría acerca de su naturaleza.

Lo demostraremos otra vez por reducción al absurdo; supongamos que (2) es cierto y que a y b sean enteros sin ningún factor común. En consecuencia, de (2) se deduce que a^2 es par (pues 2 b^2 es divisible por 2) y, por tanto,a es par (pues el cuadrado de un número impar es impar). Si a es par entonces

a = 2 c (3)

para cualquier valor entero de c; y por tanto

2 b^2 = a^2 = (2 c)2 = 4 c^2 ⇒ b^2 = 2 c^2 (4)

De aquí se deduce que b^2 es par, y, por tanto (por la misma razón que antes), b es par. Esto es lo mismo que decir que a y b son ambos pares y tienen como factor común 2. Esto contradice nuestra hipótesis y, por tanto, ésta es falsa.

De este teorema de Pitágoras se desprende que la diagonal de un cuadrado es inconmensurable con su lado (es decir, que su cociente no es un número racional o que no existe un número del que ambos sean múltiplos enteros). Si tomamos el lado del cuadrado como nuestra unidad de medida y d como la longitud de la diagonal, entonces, en virtud de un teorema muy conocido también atribuido a Pitágoras

d^2 = 1^2 + 1^2 = 2

de lo que se deduce que d no puede ser un número racional.

Podría citar un buen número de hermosos teoremas de la teoría de números cuyo significado puede comprender cualquiera. Por ejemplo, el que recibe el nombre de «teorema fundamental de la aritmética», que afirma que todo número entero puede descomponerse de una y sólo una forma en un producto de primos. Así 666 = 2 · 3 · 3 · 37, y no existe otra descomposición. Es imposible que 666 sea igual a 2 · 11 · 29 ó que 13 · 89 sea igual a 17 · 63 (y podemos saberlo sin calcular sus respectivos productos). Este teorema es, como su nombre indica, el fundamento de la aritmética superior; pero su demostración, aunque no es «difícil», requiere una cierta explicación previa que podría resultar tediosa para un lector no acostumbrado al lenguaje matemático.

Otro teorema famoso y hermoso es el de «los dos cuadrados» de Fermat. Los números primos pueden (salvo el 2) agruparse en dos clases: los primos

5, 13, 17, 29, 37, 41…

que dan un resto de valor 1 cuando son divididos entre 4, y los primos

3, 7, 11, 19, 23, 31…

que dan un resto de valor 3.

Todos los primos del primer grupo, y ninguno de los del segundo, se pueden poner como la suma de dos números enteros elevados al cuadrado, es decir:

5 = 1^1 + 2^2

13 = 2^2 + 3^2

17 = 1^2 + 4^2

29 = 2^2 + 5^2

pero 3, 7, 11 y 19 no se pueden expresar de esta forma (como el lector puede intentar comprobar). Este teorema de Fermat es considerado, muy justamente, como uno de los más elegantes de la aritmética. Lamentablemente, no hay una demostración que sea comprensible más que para matemáticos expertos.

También hay hermosos teoremas en el campo de la «teoría de conjuntos», tales como el teorema de Cantor relativo a la «no numerabilidad» del continuo. En éste la dificultad radica exactamente en lo contrario. Cuando la terminología ha sido comprendida, la demostración es bastante sencilla, pero se necesita una considerable explicación antes de que el significado del teorema sea evidente. No voy a intentar dar más ejemplos. Los que he presentado son paradigmáticos y el lector que no los pueda apreciar difícilmente apreciará algo en matemáticas.

Dije antes que un matemático era un constructor de modelos de ideas y que la belleza y la seriedad eran los criterios por los que estos modelos deberían ser juzgados. Difícilmente creería que una persona que haya comprendido estos dos teoremas dude de que satisfacen esos requisitos. Si los comparamos con los pasatiempos más ingeniosos de Dudeney, o con los más elegantes problemas de ajedrez planteados por los maestros de esta disciplina, su superioridad en ambos aspectos está clara: hay una inconfundible diferencia de clase. Son mucho más serios y también mucho más hermosos. ¿Podemos definir de un modo más preciso en qué reside su superioridad?

§ 14

En primer lugar, la superioridad de los teoremas matemáticos en lo que respecta a seriedad es obvia y abrumadora. Un problema de ajedrez es el resultado de un ingenioso pero muy limitado conjunto de ideas; fundamentalmente no difieren uno de otro y no tiene repercusiones externas. Pensaríamos de la misma forma si el ajedrez no hubiese sido nunca inventado, mientras que los teoremas de Euclides y Pitágoras han influido profundamente en el pensamiento, incluso fuera de las matemáticas.

Así, el teorema de Euclides es vital para la estructura global de la aritmética. Los números primos son el material de base con el que se construye la aritmética, y el teorema de Euclides nos asegura que disponemos de suficiente material para esta tarea. Sin embargo, el teorema de Pitágoras tiene aplicaciones en un campo más amplio y nos proporciona un mejor ejemplo.

Debemos observar primero que la idea subyacente en el teorema de Pitágoras se puede aplicar más extensamente, y con pequeños cambios, a clases más amplias de «números irracionales». Podemos probar de una forma muy parecida (como Teodoro parece haber hecho) que

√3, √5, √7, √11, √13, √17…

son irracionales, o (yendo más allá que Teodoro) que 3 √2 y 3√17 son irracionales.

El teorema de Euclides nos indica que disponemos de una buena materia prima para la construcción de una aritmética coherente de los números primos. El teorema de Pitágoras y sus extensiones nos indican que, una vez que hayamos construido esta aritmética, no va a ser suficiente para nuestras necesidades pues hay muchas magnitudes que vamos a encontrar y no seremos capaces de medir; el ejemplo más obvio es el de la diagonal del cuadrado. La profunda importancia de este descubrimiento fue reconocida inmediatamente por los matemáticos griegos. Ellos habían empezado asumiendo (supongo que de acuerdo con los dictados «naturales» del «sentido común») que todas las magnitudes de la misma clase son conmensurables; que, por ejemplo, dos segmentos cualesquiera son múltiplos de alguna unidad común, y construyeron una teoría de las proporciones basada en este supuesto. El descubrimiento de Pitágoras puso de relieve lo erróneo de esta suposición y llevó a Eudoxo a la construcción de una teoría más profunda que aparece descrita en el Libro V de Los Elementos, y que es considerada por muchos matemáticos modernos como el logro más depurado de las matemáticas griegas. Esta teoría es sorprendentemente moderna en espíritu, y puede ser considerada como el principio de la moderna teoría de números irracionales, que ha revolucionado el análisis matemático y ha tenido mucha influencia en la filosofía reciente.

No hay, por tanto, duda de la «seriedad» de ambos teoremas. Merece la pena remarcar que ninguno de ellos tiene la menor importancia «práctica». En las aplicaciones prácticas, estamos acostumbrados a trabajar sólo con números relativamente pequeños; sólo la astronomía y la física atómica trabajan con números «grandes», y, por ahora, éstas tienen poca más importancia práctica que la más abstracta matemática pura. Desconozco cuál es el mayor grado de precisión necesario para un ingeniero; sin duda, somos muy generosos si tomamos hasta ocho cifras decimales. Luego

3,14159265

(el valor de π con ocho cifras decimales) es la relación

314159265 / 100000000

entre dos números de 9 dígitos. El número de números primos menores que 1000000000 es 50847478, lo que es bastante para un ingeniero, y puede vivir perfectamente feliz prescindiendo del resto. Esto en lo relativo al teorema de Euclides, pues en lo relativo al teorema de Pitágoras es obvio que los números irracionales no son interesantes para un ingeniero, ya que trabaja sólo con aproximaciones, y todas las aproximaciones son números racionales.

§ 15

Un teorema «serio» es un teorema que aporta ideas «significativas», y yo supongo que debo intentar analizar un poco más profundamente qué características hacen significativa a una idea matemática. Esto es muy difícil, y es improbable que cualquier análisis que yo pueda hacer aporte algo de valor. Podemos reconocer una idea «significativa» cuando la vemos, como es el caso de los dos teoremas anteriormente mencionados; pero esta fuerza de reconocimiento requiere un alto grado de sofisticación matemática y esa familiaridad con las ideas matemáticas que se tiene cuando se han pasado muchos años en su compañía. Sea como fuere, debo intentar algún tipo de análisis, a ser posible, uno que, aunque sea insuficiente, parezca sólido e inteligible. Hay dos cosas que son esenciales en cualquier caso, una cierta generalidad y una cierta profundidad; pero ninguna de estas dos cualidades es fácil de definir de una forma precisa.

Una idea matemática significativa o un teorema matemático serio debe ser «general» en un cierto sentido de la palabra. La idea debe ser una parte constituyente de muchas construcciones matemáticas, es decir, ha de ser usada en la demostración de teoremas de varias clases diferentes. El teorema debe ser de tal forma que, incluso si es formulado originalmente de una forma especial (como el teorema de Pitágoras), sea aplicable con mayor extensión y característico del conjunto de teoremas de su tipo. Las deducciones expuestas en una demostración deben ser de tal forma que pongan en relación varias ideas matemáticas diferentes. Pero todo lo anterior es bastante vago e impreciso y está sujeto a muchas reservas. Sin embargo, es bastante fácil juzgar que un teorema es improbable que sea serio cuando visiblemente carece de estas cualidades; nos basta escoger algunos ejemplos de las curiosidades aisladas que son tan abundantes en la aritmética. Voy a escoger dos, casi al azar, del libro Mathematical Recreations de Rouse Ball.

a) 8712 y 9801 son los únicos números de cuatro cifras que son múltiplos enteros de sus correspondientes números «permutados»:

8712 = 4 · 2178

9801 = 9 · 1089

y no hay otros números inferiores a 10000 que tengan esta propiedad.

b) Hay sólo cuatro números mayores que 1 que puedan expresarse como la suma de los cubos de sus dígitos; son:

153 = 13 + 53 + 33

370 = 33 + 73 + 03

371 = 33 + 73 + 13

407 = 43 + 03 + 73

Estos son casos singulares, muy adecuados para las columnas de pasatiempos y para divertir a los aficionados, pero no hay nada en ellos que atraiga mucho a un matemático. Sus demostraciones no son ni difíciles ni interesantes, simplemente un poco enojosas. Los teoremas no son serios por una simple razón (aunque quizá no sea la más importante): la extrema singularidad tanto de sus enunciados como de sus demostraciones, que no son generalizables de forma significativa.

§ 16

«Generalidad» es una palabra ambigua y bastante peligrosa, y no debemos dejar que domine demasiado nuestro razonamiento. Es empleada con varias acepciones tanto en matemáticas como en escritos sobre matemáticas, y hay una de ellas en particular en la que los lógicos han hecho gran hincapié, y que es, sin embargo, enteramente irrelevante aquí. En dicha acepción, que es bastante fácil de definir, todos los teoremas matemáticos son completa e igualmente «generales».

«La certeza de las matemáticas» dice Whitehead, «depende de su generalidad completamente abstracta». Cuando afirmamos que 2 + 3 = 5, estamos afirmando que hay una relación entre tres grupos de «cosas»; y que estas «cosas» no son ni manzanas ni peniques, o cosas de un tipo o de otro, sino sólo cosas, «cualesquiera cosas». El significado de esta afirmación es enteramente independiente de las individualidades de los miembros de cada uno de los tres grupos. Todo «objeto», «entidad» o «relación» matemática, tales como «2», «3», «5», «+» ó «=» y todas las proposiciones matemáticas en las que aparecen son completamente generales en el sentido de que son completamente abstractos. En esta acepción, una de las palabras mencionadas por Whitehead es superflua, pues generalidad significa lo mismo que abstracción.

Dicho significado es importante, y los lógicos hacen bien en insistir sobre él, pues contiene una verdad evidente que mucha gente que debería conocerla, es propensa a olvidar. Por ejemplo, es bastante corriente que un astrónomo o un físico afirme que ha encontrado una «demostración matemática» de que el universo se debe de comportar de una determinada forma. Tales afirmaciones, interpretadas literalmente, no tienen sentido. No puede ser posible probar matemáticamente que mañana habrá un eclipse, porque estos, como otros fenómenos físicos, no forman parte del mundo abstracto de las matemáticas. Yo supongo que cualquier astrónomo que fuera presionado lo admitiría, con independencia del número de eclipses que haya podido predecir correctamente.

Es obvio que no estamos hablando ahora de este tipo de «generalidad», sino que estamos buscando diferencias de generalidad entre un teorema matemático y otro, y en el sentido de Whitehead todos son igualmente generales. Así, los teoremas «triviales» a) y b) de la sección 15 son tan «abstractos» y «generales» como los de Euclides y Pitágoras, y como lo sería un problema de ajedrez. En un problema de ajedrez no importa si las piezas son blancas y negras, o rojas y verdes, o, incluso, si esas «piezas» existen físicamente. Este problema es resuelto mentalmente por un especialista, mientras que el mismo problema nosotros lo resolvemos laboriosamente con la ayuda de un tablero. El tablero y las piezas son meros artificios para estimular nuestra perezosa imaginación; y no son más esenciales para resolver el problema de lo que lo serían la pizarra y la tiza para demostrar un teorema en una clase de matemáticas.

No es este tipo de generalidad, común a todos los teoremas matemáticos, el que estamos buscando, sino la clase de generalidad más sutil y escurridiza que intenté describir grosso modo en la sección 15. Y debemos tener cuidado para no poner demasiado énfasis incluso en este tipo de generalidad (pues pienso que lógicos como Whitehead tienden a hacerlo). No se trata meramente de «acumular sutileza sobre sutileza en cuanto al problema de generalización», que es el logro más destacado de las matemáticas modernas. Algún grado de generalidad tiene que estar presente en cualquier teorema de alto nivel, pero demasiada lleva inevitablemente a la insulsez. «Toda cosa es lo que es, y no otra cosa», y las diferencias entre las cosas son tan interesantes como sus semejanzas. No escogemos a nuestros amigos porque personifiquen las mejores cualidades de la humanidad, sino porque son como son. Y así ocurre en matemáticas; una propiedad que sea común a un gran número de objetos difícilmente puede ser excitante; también las ideas matemáticas resultan apagadas si carecen de una buena dosis de individualidad. Aquí, en cualquier caso, puedo citar a Whitehead en mi apoyo: «La amplia generalización limitada por una feliz particularidad es la concepción más fructífera».

§ 17

La segunda cualidad que yo pedía a una idea significativa era profundidad y esto es todavía más difícil de definir. Tiene algo que ver con dificultad pues las ideas más «profundas» son habitualmente las más difíciles de comprender, aunque estos dos términos no expresan en absoluto lo mismo. Las ideas subyacentes en el teorema de Pitágoras y en sus generalizaciones son bastante profundas, pero ahora ningún matemático las encontraría difíciles. Por otra parte, un teorema puede ser esencialmente superficial y, sin embargo, ser difícil de probar (como son muchos teoremas «diofánticos», que son los relativos a la solución de ecuaciones en los números enteros).

Parece como si las ideas matemáticas estuvieran agrupadas en algo así como una serie de estratos, estando las ideas de cada estrato vinculadas mediante un complejo de relaciones tanto entre ellas mismas como con las de los estratos superior e inferior. Cuanto más bajo es el estrato más profunda es la idea (y, en general, más difícil). Así, la idea de «número irracional» es más profunda que la de número entero: y el teorema de Pitágoras es, por esa razón, más profundo que el de Euclides.

Concentremos nuestra atención en las relaciones entre los números enteros o entre cualquier otro grupo de objetos que están en un determinado estrato. Puede suceder entonces que una de estas relaciones pueda ser comprendida totalmente, es decir, que, por ejemplo, podamos reconocer y probar alguna propiedad de los números enteros sin ningún conocimiento del contenido de estratos inferiores. De esta forma, probaríamos el teorema de Euclides teniendo en consideración solamente las propiedades de los números enteros. Pero hay también muchos teoremas sobre números enteros que no se pueden comprender adecuadamente, ni mucho menos probar, sin ahondar más profundamente y sin considerar lo que los subyace.

Es fácil encontrar ejemplos de lo anterior dentro de la teoría de números primos. El teorema de Euclides es muy importante, pero no es muy profundo, pues se puede probar que hay infinitos números primos sin utilizar una noción más profunda que la de «divisibilidad». Pero tan pronto como conocemos la respuesta a la cuestión anterior nos surgen nuevas preguntas. Hay una cantidad infinita de números primos, pero ¿cómo están distribuidos infinitamente? Dado un número bastante grande N, como pudiera[45] ser 10^80 ó 10^1010, ¿cuántos números primos hay que sean menores que N?[46]. Cuando nos hacemos estas preguntas, nos estamos situando en un nivel bastante diferente. Las podemos responder con una exactitud bastante sorprendente, pero sólo si profundizarnos mucho más y por un momento dejamos a los números enteros por encima de nosotros y utilizamos las más poderosas herramientas que posee la moderna teoría de funciones. En este caso, el teorema que responde a nuestras preguntas (el llamado «teorema de los números primos») es mucho más profundo que el de Euclides o incluso que el de Pitágoras.

Podría dar una infinidad de ejemplos, pero esta noción de profundidad es bastante esquiva incluso para un matemático que la sepa reconocer y difícilmente podría decir aquí algo más sobre ella que fuera de mucha ayuda para otros lectores.

§ 18

Desde la sección 11, tenemos todavía pendiente un aspecto relativo a la comparación entre las «matemáticas auténticas» y el ajedrez. Podemos dar por supuesto que la superioridad del teorema matemático auténtico es abrumadora en sustancia, seriedad y significado. Resulta igualmente obvio para una inteligencia cultivada que también tiene una gran superioridad en belleza, pero esta superioridad es mucho más difícil de definir o localizar pues el defecto principal del problema de ajedrez es claramente su trivialidad, y el contraste en este aspecto mezcla y distorsiona cualquier juicio más puramente estético. ¿Qué cualidades «puramente estéticas» pueden distinguirse en teoremas tales como los de Euclides y Pitágoras? Sólo me arriesgaré a exponer algunos comentarios inconexos.

En ambos teoremas (y dentro de ellos, por supuesto, incluyo las demostraciones) hay un alto grado de sorpresa, combinada con inevitabilidad y economía. En ellos los razonamientos son de una forma tan singular y sorprendente, las armas utilizadas son tan infantilmente simples comparadas con el enorme alcance de los resultados, que no hay forma de eludir las conclusiones. No hay complicaciones de detalle (una línea de ataque es suficiente en cada caso); y esto es verdad también respecto a las demostraciones de muchos otros teoremas difíciles cuya completa comprensión requiere un alto nivel de destreza técnica. No queremos muchas «variaciones» en la demostración de un teorema matemático, pues la «enumeración de casos» es una de las formas más aburridas de razonamiento matemático. Una demostración matemática debe parecerse a una constelación simple y claramente delimitada y no a un grupo disperso en la Vía Láctea.

Un problema de ajedrez también tiene sus sorpresas y una cierta economía; es esencial que los movimientos sean sorprendentes y que cada pieza del tablero tenga un papel en la jugada. Sin embargo, el efecto estético es acumulativo. También es esencial (a menos que el problema sea demasiado simple para ser realmente divertido) que el movimiento clave sea seguido por un buen número de variantes, cada una de las cuales requiera su propia respuesta individual. «Si P5A entonces C6T; si… entonces…; si… entonces…»; el efecto se estropearía si no hubiera un buen número de réplicas diferentes. Todo esto es matemática genuina y, por tanto, tiene sus méritos, pero es justamente esa «demostración por enumeración de casos» (y de casos que al fin y al cabo no difieren profundamente en nada[47]) lo que un matemático auténtico tiende a rechazar.

Me inclino a pensar que podría reforzar mi argumentación apelando a los sentimientos de los mismos jugadores de ajedrez. Seguramente que un maestro de ajedrez, un jugador de grandes partidas y grandes torneos, en el fondo desdeña la habilidad de un pensador puramente matemático. El jugador tiene mucho de esto en reserva y lo puede utilizar en una emergencia: «si él hubiera hecho tal y tal movimiento, entonces yo hubiera tenido en la mente tal y tal variante ganadora». Sin embargo, el «momento álgido» del ajedrez es ante todo psicológico, una lucha entre dos inteligencias adiestradas, y no una mera colección de pequeños teoremas matemáticos.

§ 19

Debo regresar a la apología realizada en mi conferencia de Oxford y examinar un poco más cuidadosamente algunos de los comentarios de la sección 6 que dejé para más adelante. En este momento resultará obvio que estoy interesado en las matemáticas sólo como arte creativa, pero hay otras cuestiones a considerar, y, en particular, aquélla de la «utilidad» (o inutilidad) de las matemáticas, sobre la que hay mucha confusión de pensamiento. También debemos tener en cuenta si las matemáticas son realmente tan «inocuas» como yo di por supuesto en dicha conferencia.

Se dice que una ciencia o un arte son «útiles» si su desarrollo incrementa, aunque sea indirectamente, el bienestar material y el confort de las personas, es decir, si promueve su felicidad, empleando esta palabra en su acepción más ordinaria y común. Así, la medicina y la psicología son útiles porque alivian el sufrimiento, y la ingeniería es útil porque nos ayuda a construir casas y puentes, y, de esta forma, a aumentar nuestro nivel de vida (la ingeniería también hace daño, por supuesto, pero no es ésa ahora la cuestión). Algunas matemáticas son ciertamente útiles en este sentido, pues los ingenieros no podrían hacer su trabajo sin una buena base matemática, y las matemáticas están empezando a tener aplicaciones incluso en psicología. Tenemos en esto un posible argumento para la defensa de las matemáticas, que puede no ser ni la mejor ni especialmente sólida, pero que hay que considerar. Los «más nobles» usos de las matemáticas, de existir, los que comparte con cualquier arte creativa, van a ser irrelevantes para nuestro análisis. Las matemáticas pueden, como la poesía o la música, «promover y mantener un elevado hábito mental», e incrementar la felicidad de los matemáticos e incluso de otra gente; pero defenderlas basándose en este argumento sería meramente dar más explicaciones sobre lo que yo ya he dicho antes. Lo que tenemos que considerar ahora es la utilidad de las matemáticas en un sentido «amplio».

§ 20

Todo esto puede parecer obvio, pero incluso en esta cuestión se produce un alto grado de confusión, pues la mayor parte de las materias «útiles» son aquéllas cuyo aprendizaje es justamente más inútil para la mayor parte de nosotros. Es útil tener un número adecuado de fisiólogos e ingenieros, pero la fisiología y la ingeniería no son estudios útiles para una persona corriente (aunque su estudio puede ser defendido basándose en otros argumentos). Por mi parte, no me he encontrado nunca en una posición, fuera de las matemáticas puras, en la que tanto conocimiento científico como poseo me haya proporcionado el más mínimo beneficio.

Es bastante sorprendente comprobar cuán escaso valor práctico tiene el conocimiento científico para una persona corriente, qué aburrido y tópico es en relación con su valor, y cómo éste parece variar en relación inversa a su presunta utilidad. Es útil ser razonablemente rápido en la aritmética más común (y eso es, por supuesto, matemática pura). Es útil saber un poco de francés o de alemán, un poco de historia y de geografía, o incluso un poco de economía. Pero saber un poco de química, física o fisiología no tiene ningún valor en la vida cotidiana. Sabemos que el gas arderá sin conocer cuál es su composición química; cuando nuestros coches se averían, los llevamos al taller; cuando nuestro estómago tiene problemas, vamos a la farmacia o a ver a un médico. Vivimos basados en la intuición o en el conocimiento profesional de otros.

Sin embargo, éste es un tema secundario, un problema de pedagogía, que interesa sólo a los maestros que tienen que aconsejar a los padres que reclaman una educación «útil» para sus hijos. Cuando afirmamos que la fisiología es útil, no queremos decir, por supuesto, que la mayoría de la gente tenga que estudiarla, sino que su desarrollo por especialistas va a incrementar el bienestar de la mayoría. Las cuestiones importantes para nosotros son ahora ver hasta qué punto las matemáticas pueden pretender este tipo de utilidad, qué tipo de matemáticas pueden reclamarla con más justificación, y hasta qué punto el estudio intensivo de las matemáticas se puede justificar sobre esta base.

§ 21

A estas alturas es probable que estén claras las conclusiones a las que voy llegando; por tanto, las enunciaré primero escuetamente y luego las ampliaré un poco más. Es innegable que una buena parte de las matemáticas elementales tiene una considerable utilidad práctica (y uso la palabra «elemental» en el sentido en que es usada por los matemáticos profesionales, que incluye, por ejemplo, un buen conocimiento del cálculo diferencial e integral). Esta parte de las matemáticas es, en conjunto, bastante monótona, pues es la parte que tiene menor valor estético. Las matemáticas «auténticas» de los «auténticos» matemáticos, es decir, las matemáticas de Fermat, o Euler, o Gauss, o Abel o Riemann, son totalmente «inútiles» (y esto es cierto tanto en el caso de las matemáticas puras como en el de las aplicadas). Es imposible de justificar la vida de un matemático profesional genuino sólo sobre la base de la «utilidad» de su obra.

Llegados a este punto debo enfrentarme a una concepción equivocada. Algunas veces se sugiere que la gloria de los matemáticos puros radica en la inutilidad de su trabajos[48], y estos presumen de que no tengan aplicaciones prácticas. Esta imputación se basa habitualmente en un dicho osado atribuido a Gauss, según el cual, si las matemáticas son la reina de las ciencias, entonces la teoría de los números es, a causa de su suprema inutilidad, la reina de las matemáticas (nunca he sido capaz de encontrar la cita exacta).

Estoy seguro que este dicho de Gauss (siempre que sea suyo) ha sido por lo general bastante mal interpretado. Si la teoría de números pudiera ser empleada para cualquier fin práctico y claramente honorable, si su rumbo pudiera girar hacia el fomento de la felicidad o hacia el alivio del sufrimiento humano, como la fisiología o incluso la química pueden, seguramente entonces ni Gauss ni cualquier otro matemático estaría tan loco como para desacreditar o lamentar tales aplicaciones. Pero la ciencia sirve para lo malo tanto como para lo bueno (especialmente, por supuesto, en tiempo de guerra); y tanto Gauss como otros matemáticos menos importantes tienen motivo para alegrarse de que haya una ciencia, y que sea la suya, cuya lejanía de las actividades humanas cotidianas la mantiene apacible y limpia.

§ 22

Hay también otro concepto erróneo contra el que debemos ponernos en guardia. Se supone, de forma bastante natural, que hay una gran diferencia en utilidad entre matemáticas «puras» y «aplicadas». Esto es una falacia: hay una marcada distinción entre los dos tipos de matemáticas, que voy a explicar a continuación, pero que sólo afecta remotamente a su utilidad.

¿En qué se diferencian las matemáticas puras y las aplicadas? Ésta es una pregunta que puede responderse categóricamente y sobre la que hay un general acuerdo entre los matemáticos. En mi respuesta no habrá el mínimo asomo de heterodoxia, pero, sin embargo, necesita una pequeña introducción previa.

Mis dos próximas secciones tendrán un contenido ligeramente filosófico, que no será ni muy profundo ni necesariamente vital para mis tesis principales; pero utilizaré palabras que son muy frecuentemente usadas con claras implicaciones filosóficas y el lector podría ser inducido a confusión si yo no explicase cómo las voy a emplear.

He utilizado a menudo el adjetivo «auténtico» tal como se usa normalmente en una conversación. Así, he hablado de «auténticas matemáticas» y de «auténticos matemáticos», como podría haber hablado de «auténtica poesía» y de «auténticos poetas», y así voy a continuar haciéndolo. Pero ahora voy a utilizar la palabra «realidad» y con dos connotaciones diferentes.

En primer lugar, hablaré de «realidad física», y aquí otra vez volveré a utilizar la palabra en su sentido ordinario. Por realidad física entiendo el mundo material, el mundo del día y la noche, de los terremotos y eclipses, el mundo que las ciencias físicas intentan describir.

Me cuesta imaginar que, hasta este momento, algún lector haya podido tener problemas con mi lenguaje, pero ahora estoy a punto de entrar en un terreno más difícil. Para mi, y supongo que para otros matemáticos, hay otra realidad, que llamaré «realidad matemática», sobre cuya naturaleza no existe acuerdo tanto entre los matemáticos como entre los filósofos. Algunos mantienen que dicha «realidad» es «mental» y que de alguna forma la construimos, otros sostienen que tiene una existencia externa e independiente. Una persona que fuera capaz de dar una explicación convincente de la realidad matemática resolvería los problemas más difíciles de la metafísica. Si además en su explicación incluyese a la realidad física, resolvería todos ellos.

No quisiera discutir ninguna de esas cuestiones aquí, incluso si me considerase competente para hacerlo, pero voy a exponer sin mayores explicaciones mi propia posición para evitar errores menores. Creo que la realidad matemática se encuentra fuera de nosotros y que nuestra misión es descubrirla u «observarla», y que los teoremas que nosotros demostramos y que grandilocuentemente describimos como «creaciones» nuestras, son simplemente las notas de nuestras observaciones. Este punto de vista ha sido mantenido de una forma u otra por muchos filósofos de elevada categoría, desde Platón hasta nuestros días, y yo utilizaré el lenguaje que resulta natural en una persona que mantiene esa posición. Un lector al que no le guste la filosofía puede cambiar el lenguaje, pero ello no afectará casi en nada a mis conclusiones.

§ 23

El contraste entre las matemáticas puras y aplicadas se pone de manifiesto más claramente quizá en geometría. Existe la ciencia de la geometría pura[49], en la que hay muchas geometrías: geometría proyectiva, geometría euclídea, geometría no euclídea, y así sucesivamente. Cada una de estas geometrías es un modelo, un conjunto de ideas, y debe ser juzgada por su interés y belleza. Son una representación o imagen, el producto resultante de muchas manos, una copia parcial e imperfecta (aunque precisa en su terreno) de una parcela de la realidad matemática. Pero el aspecto que ahora es crucial para nosotros es que, en cualquier caso, la geometría pura no está constituida por imágenes sino que es la realidad espacio-temporal del mundo físico. Seguramente, es obvio que no se trata de imágenes, pues tanto los terremotos como los eclipses no son conceptos matemáticos.

Esto puede sonar un poco paradójico a un profano, pero es una verdad evidente para un geómetra; y voy a intentar aclararlo con un ejemplo. Supongamos que estoy dando una clase sobre un sistema de geometría, tal como la geometría euclídea ordinaria, y que dibujo figuras en la pizarra para estimular la imaginación de mi audiencia, dibujos a mano alzada de líneas rectas, círculos o elipses. Es evidente, en primer lugar, que la veracidad de los teoremas que estoy probando no resulta afectada por la calidad de mis dibujos. Su función es, únicamente, acercar mi explicación a mis oyentes, y en el caso de que lo lograse, también es seguro que no aportaría nada que las figuras fuesen de nuevo dibujadas por el más experto dibujante. Son ilustraciones pedagógicas que no forman parte del problema en cuestión.

Vayamos un paso más lejos. La habitación en que estoy dando la clase forma parte del mundo físico y tiene su propio modelo. El estudio del mismo, y del modelo general de la realidad física, es una ciencia en sí misma, a la que podemos llamar «geometría física». Supongamos ahora que introducimos en la habitación una potente dinamo o un objeto pesado. En tal caso, los físicos nos dicen que la geometría de la habitación cambia, que su completo modelo físico ha resultado ligera pero definitivamente alterado. ¿Han pasado a ser falsos los teoremas que yo probé? Seguramente no tendría sentido suponer que las demostraciones que hice han resultado afectadas, pues sería como suponer que una obra de Shakespeare cambia cuando un lector derrama su té sobre una página. La obra es independiente de las páginas en que está impresa, y las «geometrías puras» son independientes de las aulas o de cualquier otro detalle del mundo físico.

Éste es el punto de vista de un matemático puro. Los matemáticos aplicados y los físicos matemáticos naturalmente que mantienen otro punto de vista, pues están más preocupados por el propio mundo físico, que también tiene su estructura o modelo, que no podemos describir exactamente (como sí haríamos con el mundo de la geometría pura), pero sobre el que sí podemos afirmar algo significativo. Podemos describir, algunas veces con bastante exactitud y otras muy aproximadamente, las relaciones que existen entre algunas de sus partes constituyentes y compararlas con las relaciones exactas que se dan entre las partes constituyentes de algún sistema de geometría pura. Podemos ser capaces de encontrar un cierto parecido entre estos dos conjuntos de relaciones, y entonces la geometría pura pasará a ser de interés para los físicos; proporcionará, hasta cierto punto, una representación que «concuerda con los hechos» del mundo físico. El geómetra ofrece al físico un completo conjunto de representaciones entre las que escoger. Quizá una representación se ajustará mejor a los hechos que otra y entonces la geometría que la proporcione resultará ser la más importante para las matemáticas aplicadas. Puedo añadir que incluso un matemático puro puede encontrar que su apreciación por este tipo de geometría se aviva, pues no existe matemático tan puro como para no sentir ningún interés por el mundo físico; pero en la medida que sucumbe a tal tentación estará abandonando su actitud puramente matemática.

§ 24

Se nos presenta aquí otra puntualización que los físicos pueden encontrar paradójica, aunque ésta nos parece menor de lo que era hace dieciocho años. La expondré con las mismas palabras que empleé en 1922 en una comunicación a la Sección A de la British Association. Entonces, mi audiencia estaba compuesta casi exclusivamente por físicos y, teniendo en cuenta esto, quizá hablé un poco provocativamente; pero mantengo todavía la sustancia de lo que dije.

Comencé afirmando que probablemente hay menos diferencias entre las posiciones de un matemático y un físico de las que generalmente se supone, y que la más importante me parece a mí que es que el matemático está en mucho mayor contacto directo con la realidad. Esto puede parecer una paradoja pues es el físico el que trata con los problemas que describimos habitualmente como «reales»; pero una pequeñísima reflexión basta para demostrar que la realidad del físico sea cual sea ésta, posee pocos o ninguno de los atributos que el sentido común asocia instintivamente con la realidad. Una silla puede ser un conjunto de electrones que giran, o bien una idea en la mente de Dios, cualquiera de estas opciones puede tener sus méritos, pero ninguna concuerda bien con lo que nos sugiere el sentido común.

Continué diciendo que ni los físicos ni los filósofos han dado nunca una explicación convincente de lo que es la «realidad física» o de cómo el físico pasa de la confusa masa de hechos o sensaciones con la que empieza a trabajar a la construcción de los objetos a los que denomina «reales». Así pues, no se puede decir que conocemos cuál es el objeto de la física, pero esto no nos impide a nosotros comprender aproximadamente lo que un físico trata de hacer. Es obvio que intenta correlacionar el incoherente conjunto de hechos con los que se enfrenta con un esquema ordenado de relaciones abstractas; y este tipo de esquema sólo lo puede tomar prestado de las matemáticas.

Por otro lado, un matemático trabaja con su propia realidad matemática. De esta realidad, como expliqué en la sección 22, tengo un punto de vista «realista» y no «idealista». En cualquier caso (y éste fue mi argumento principal) este punto de vista realista es mucho más verosímil en la realidad matemática que en la física, porque los objetos matemáticos son lo que parecen en mucha mayor medida que los objetos físicos. Una silla o una estrella no son ni lo más mínimo lo que parecen ser; cuanto más pensamos sobre ellos más borrosos se vuelven dentro de la sensación de indefinición que los rodea; pero «2» ó «317» no tienen nada que ver con sensaciones y sus propiedades se ponen de manifiesto más claramente cuanto más los examinamos. Puede ser que la física moderna encaje mejor en el marco de una filosofía idealista (yo no lo creo, pero hay físicos eminentes que así lo dicen). Por otra parte, las matemáticas puras me parecen como una roca en la que cualquier tipo de idealismo zozobra: 317 es un número primo no porque lo pensemos nosotros o porque nuestras mentes hayan sido predispuestas a ello de una forma o de otra, sino porque así es, porque la realidad matemática está construida de esta forma.

§ 25

Estas distinciones entre matemáticas puras y aplicadas son importantes en sí mismas, pero su repercusión en nuestra discusión sobre la «utilidad» de las matemáticas es muy pequeña. Hablé en la sección 21 de las matemáticas «auténticas» de Fermat y de otros grandes matemáticos; de las matemáticas que tienen un valor estético permanente como, por ejemplo, tiene la mejor matemática griega; de las matemáticas que son eternas porque lo mejor de ellas puede, como ocurre con la mejor literatura, continuar causando una satisfacción emocional intensa a miles de personas miles de años después. Estas personas fueron ante todo matemáticos puros (naturalmente esta distinción era entonces menos acusada de lo que es ahora); pero no estoy pensando solamente en ellos al hablar de las matemáticas puras. Yo incluyo a Maxwell y Einstein, a Eddington y a Dirac entre los matemáticos «auténticos». En nuestro tiempo, los grandes logros de las matemáticas aplicadas se han producido en la teoría de la relatividad y en la mecánica cuántica y estos temas son, al menos en el momento presente, casi tan inútiles como la teoría de números. Para bien o para mal, las partes más elementales y aburridas de las matemáticas aplicadas y de las puras son las que tienen una mayor utilidad. El transcurrir del tiempo puede hacer cambiar todo esto. Nadie previó en su momento las aplicaciones de las matrices, de la teoría de grupos y de otras teorías puramente matemáticas, a la física moderna, y puede ser que a algunas de las matemáticas aplicadas más «selectas» se les encuentre de forma inesperada «utilidad»; hasta ahora la evidencia apunta que tanto en una materia como en otra, es lo tópico y aburrido lo que sirve en la vida práctica.

Recuerdo a Eddington dando un ejemplo afortunado de la falta de atractivo de la ciencia «útil». La British Association organizó una reunión en Leeds, y se pensó que a sus miembros les podría gustar escuchar algo relativo a las aplicaciones de la ciencia a la gran industria textil lanera. Pero las conferencias y demostraciones preparadas con este propósito fueron más bien un fracaso. Parecía que los asistentes (fueran o no habitantes de Leeds) preferían que los entretuvieran, y que la gran industria lanera no era un tema entretenido. La asistencia a dichas conferencias fue decepcionante; pero, sin embargo, los conferenciantes que hablaron sobre las excavaciones en Cnosos, sobre la relatividad o sobre la teoría de los números primos, resultaron entusiasmados con las audiencias que obtuvieron.

§ 26

¿Qué partes de las matemáticas son útiles?

En primer lugar, la mayor parte de las matemáticas escolares, es decir, aritmética, álgebra elemental, geometría euclídea elemental y cálculo diferencial e integral elemental. Exceptuamos ciertas partes que sólo se enseñan a «especialistas» como la geometría proyectiva. Dentro de las matemáticas aplicadas, son útiles ciertas partes de la mecánica (pues la electricidad, tal como es enseñada en las escuelas, debe ser considerada como física).

Además, también es útil la mayor parte de las matemáticas universitarias, especialmente aquélla que realmente consiste en el desarrollo de las matemáticas escolares con una técnica más perfeccionada. También son útiles ciertas partes de materias con mayor contenido de física como la electricidad y la hidromecánica. Debemos tener en cuenta que un plus de conocimientos siempre es una ventaja y que el más práctico de los matemáticos se encontrará en desventaja si su conocimiento es el mínimo estricto para su trabajo; por esta razón, debemos añadir un poco más de conocimientos a cada una de las materias antes citadas, pero nuestra conclusión general debe ser que tales matemáticas son útiles desde el punto de vista de un ingeniero superior o de un físico mediocre; y esto es lo mismo que decir que tales matemáticas no tienen un particular mérito estético. Por ejemplo, en el caso de la geometría euclídea, cuanto más útiles son los conceptos, más aburridos resultan (pues no necesitamos ni el axioma de las rectas paralelas, ni la teoría de las proporciones, ni la construcción del pentágono regular). Ahora surge otra conclusión bastante curiosa, y es que la matemática pura es, en conjunto, claramente más útil que la aplicada. El matemático puro parece gozar de la ventaja de lo práctico y de lo estético. Porque lo que es útil en las materias anteriores son sobre todo las técnicas y la mayor parte de las técnicas matemáticas se enseñan mediante la matemática pura.

Espero no necesitar decir que no estoy intentando rebajar la importancia de la física matemática, una materia espléndida, donde se plantean problemas inmensos y donde las mentes más fecundas han dado rienda suelta a su imaginación. ¿Pero no es algo patética la postura de un matemático aplicado ordinario? Si quiere ser útil debe trabajar de una forma rutinaria y no puede dejar volar a su imaginación aunque desee elevarse a las más altas cimas. Los universos imaginarios resultan mucho más hermosos que el «real» nuestro estúpidamente construido; y la mayor parte de los mejores resultados de la imaginación de un matemático aplicado deben ser rechazados nada más nacer por la brutal y suficiente razón de que no se adaptan a los hechos.

Seguramente, la conclusión general que puede extraerse de lo anterior destaca claramente. Si, como provisionalmente hemos acordado antes, el conocimiento útil es aquél que probablemente va a contribuir al bienestar material de la humanidad, ahora o en el futuro próximo, de tal forma que la mera satisfacción intelectual resulte irrelevante, entonces la mayor parte de las matemáticas superiores son inútiles. La geometría y el álgebra modernas, la teoría de números, la teoría de conjuntos y la de funciones, la relatividad y la mecánica cuántica, no pasarían con éxito la prueba de la utilidad, y no hay ningún matemático auténtico cuya vida pueda justificarse por esto. Si ésta fuera la prueba, entonces tanto Abel como Riemann y Poincaré desperdiciaron sus vidas, y su contribución al bienestar humano es insignificante, y el mundo hubiera sido un lugar igual de feliz sin ellos.

§ 27

Tal vez pueda objetarse que mi concepto de «utilidad» sea demasiado limitado, que lo haya definido sólo en términos de «felicidad» o «bienestar», y que haya ignorado los efectos «sociales» de las matemáticas sobre los que autores recientes, con muy diferentes criterios, han hecho énfasis. Así, Whitehead (que ha sido matemático) habla de «la enorme repercusión del conocimiento matemático sobre las vidas de las personas, sobre sus ocupaciones diarias y sobre la organización de la sociedad»; y Hogben (que no comparte mi criterio sobre lo que yo y otros matemáticos denominamos matemáticas en la misma medida en que Whitehead sí lo hace) dice que «sin un conocimiento de las matemáticas y de las leyes elementales de las magnitudes y del orden, no se puede planificar una sociedad racional en la que haya ocio para todos y pobreza para nadie».

No creo que toda esta elocuencia haga mucho por consolar a los matemáticos, pues el lenguaje de ambos escritores es bastante exagerado, y ambos ignoran matices muy obvios. Esto es bastante normal en el caso de Hogben puesto que se reconoce que no es un matemático y entiende por «matemáticas» las matemáticas que él puede comprender, que son las que yo he llamado matemáticas «escolares». Estas matemáticas tienen muchas aplicaciones, que como ya he admitido podemos denominar «sociales» si así nos place, y que Hogben enfatiza con interesantes anécdotas extraídas de la historia de los descubrimientos matemáticos. Es esto lo que proporciona el mérito a su libro, pues le permite aclarar, para muchos lectores que ni han sido ni serán matemáticos, que hay más cosas dentro de las matemáticas de las que ellos piensan. Sin embargo, Hogben apenas comprende las «auténticas matemáticas» (como cualquiera que lea lo que dice sobre el teorema de Pitágoras o sobre Euclides y Einstein reconocerá de inmediato), y tiene todavía menos afinidad con ellas (como no ahorra esfuerzos en demostrar). Las matemáticas auténticas son para él un objeto hacia el que muestra desdeñosa piedad.

No es falta de conocimiento o afinidad el problema en el caso de Whitehead, pero olvida, en su entusiasmo, distinciones con las que está bastante familiarizado. Las matemáticas que tienen esa «enorme repercusión» sobre las «ocupaciones diarias» y sobre «la organización de la sociedad» no son las de Whitehead sino las de Hogben. Las matemáticas que pueden ser usadas «para propósitos ordinarios por personas normales» son insignificantes, y las que pueden emplear economistas y sociólogos difícilmente llegan al nivel académico. Las matemáticas de Whitehead pueden afectar profundamente a la astronomía o a la física, incluso muy apreciablemente a la filosofía (el pensamiento de alto nivel en un campo es bastante probable que afecte al pensamiento de alto nivel en otro) pero producen un efecto extraordinariamente pequeño en cualquier otra cosa. Sus «enormes repercusiones» se han producido, no sobre las personas en general, sino sobre personas del tipo del mismo Whitehead.

§ 28

Existen, por tanto, dos tipos de matemáticas. Las auténticas, hechas por auténticos matemáticos, y las que yo llamo a falta de una palabra mejor, matemáticas «triviales». Estas últimas pueden ser justificadas con argumentos que atraerían a Hogben o a otros escritores de su escuela, pero tal justificación no sirve para las matemáticas auténticas, que en caso de poder ser justificadas de alguna forma, sólo lo podrían ser como un arte. No hay nada mínimamente paradójico o inusual en este punto de vista, que es el que mantienen normalmente los matemáticos.

Tenemos que considerar todavía otro problema. Hemos llegado a la conclusión de que las matemáticas triviales son, en su conjunto, útiles, y que las matemáticas auténticas no; que las matemáticas triviales hacen, en un cierto sentido el «bien», mientras que las auténticas no. Pero todavía tenemos que preguntarnos si uno u otro tipo de matemáticas produce daño. Sería paradójico sugerir que cualquier tipo de matemáticas produce daño en tiempo de paz, por lo que esto nos lleva a considerar los efectos de las matemáticas en la guerra. Es muy difícil discutir desapasionadamente tales temas ahora, y hubiera preferido evitarlo; sin embargo, parece inexcusable plantearse algún tipo de discusión. Afortunadamente, no necesita ser extensa.

Hay una conclusión tranquilizadora y fácil para un matemático auténtico. Las matemáticas auténticas no tienen efectos sobre la guerra. Nadie ha descubierto todavía ninguna aplicación militar de la teoría de los números y de la relatividad, y no parece probable que alguien lo haga en muchos años. Es cierto que hay ramas de las matemáticas aplicadas, como la balística y la aerodinámica, que han sido deliberadamente desarrolladas para la guerra y que exigen el dominio de una técnica bastante elaborada; quizá es difícil denominarlas «triviales», pero nadie tiene ningún derecho a clasificarlas como «auténticas». Son, por supuesto, repulsivamente feas e intolerablemente aburridas; ni tan siquiera Littlewood ha conseguido hacer respetable a la balística. Si él no ha podido, ¿quién podría entonces? Por tanto un matemático auténtico tiene limpia su conciencia; no puede objetarse nada al valor que pudiera tener su trabajo; las matemáticas son, como dije en Oxford, una ocupación inocua e inocente.

Por el contrario, las matemáticas triviales tienen muchas aplicaciones en la guerra. Por ejemplo, los especialistas en artillería y los diseñadores de aviones no podrían realizar su trabajo sin ellas. Y está claro cuál es la consecuencia de sus aplicaciones: las matemáticas facilitan (aunque no tan obviamente como la física o la química) la guerra moderna, científica y «total».

No está tan claro como se pudiera pensar que lo anterior tenga que lamentarse, pues hay dos puntos de vista profundamente diferentes acerca de la guerra científica moderna. El primero y más obvio es que el efecto de la ciencia sobre la guerra es esencialmente magnificar su horror, tanto aumentando los sufrimientos de la minoría que lucha como extendiéndolos al resto de la población. Éste es el punto de vista más natural y ortodoxo. Pero hay otro muy diferente, que también parece defendible y que ha sido expuesto con gran vigor por Haldane en su obra Callinicus. Puede afirmarse que la guerra moderna es menos horrible que la guerra de las épocas precientíficas; que probablemente las bombas son más misericordiosas que las bayonetas, que el gas lacrimógeno y el gas mostaza son quizá las armas más humanas que haya concebido la ciencia militar y que el punto de vista ortodoxo antes mencionado está basado únicamente en cierto sentimentalismo ilógico[50]. Puede también defenderse (aunque ésta no era una de las tesis de Haldane) que la igualdad de riesgos que se esperaba que la ciencia trajese será saludable a largo plazo; que la vida de un civil no vale más que la de un soldado, ni la de una mujer más que la de un hombre; que cualquier cosa es mejor que la concentración de violencia en un grupo determinado; y que, en pocas palabras, cuanto antes la guerra despliegue toda su fuerza mejor.

No sé cuál de estos puntos de vista está más cerca de la verdad. Es una cuestión acuciante y conmovedora, pero no tengo por qué discutirla aquí, ya que afecta sólo a las matemáticas «triviales». Es más bien el cometido de Hogben el defenderla y no el mío, ya que este asunto pudiera ser para sus matemáticas bastante más que una pequeña mancha; mientras que las mías no resultan afectadas.

Por supuesto que se puede añadir más, puesto que en cualquier caso hay un aspecto para el que las matemáticas auténticas sirven en la guerra. Cuando el mundo se vuelve loco un matemático puede encontrar en las matemáticas un analgésico incomparable, porque las matemáticas son, entre todas las artes y ciencias, la más austera y la más distante, y un matemático debe ser, entre todas las personas, el que más fácilmente pueda refugiarse donde «al menos uno de nuestros más nobles impulsos pueda evadirse mejor del triste exilio del mundo actual», como dijo Bertrand Russell. Es una pena que sea necesario hacer una salvedad muy seria: el matemático no debe ser demasiado viejo. La matemática no es una tarea contemplativa sino creativa; nadie puede encontrar mucho consuelo en ellas cuando ha perdido el poder o el deseo de crear; y esto le suele suceder bastante pronto a un matemático. Es una pena, pero en el caso de que así sea, el matemático ya no importa mucho y sería tonto preocuparse por él.

§ 29

Finalizaré con un resumen de mis conclusiones, pero presentándolas de una forma más personal. Dije al principio que cualquiera que defienda su materia se encontrará defendiéndose a sí mismo; y mi justificación de la vida de un matemático profesional es seguro que va a ser, en el fondo, una justificación de la mía. Por tanto, esta conclusión será sustancialmente un fragmento autobiográfico.

No recuerdo haber querido ser otra cosa que matemático. Supongo que fue siempre evidente que mis habilidades iban por ese camino, y nunca se me ocurrió dudar del veredicto de mis mayores. Cuando era un niño, no recuerdo haber sentido ninguna pasión por las matemáticas, y las opiniones que podría haber tenido sobre la carrera de matemático distaban mucho de ser nobles. Pensaba en las matemáticas sólo en lo que se refiere a exámenes y becas: quería ganar a los otros niños y éste me parecía el único camino en el que podría hacerlo más concluyentemente.

Tenía alrededor de quince años cuando (de una forma bastante extraña) mis ambiciones cambiaron bruscamente. Existe un libro de «Alan St Aubyn», que lleva por título Un profesor del Trinity (A Fellow of Trinity), uno de una serie de libros que trataban de lo que se suponía que era el ambiente universitario en Cambridge. Supongo que este libro es peor que cualquiera de los de Marie Corelli, pero un libro difícilmente puede ser todo él malo si despierta la imaginación de un niño inteligente. Había dos héroes, el principal se llamaba Flowers y era casi totalmente bueno. El secundario se llamaba Brown y era una persona sin carácter. Flowers y Brown se ven expuestos a muchos peligros en la vida universitaria, pero el peor es un salón de juego en Chesterton regentado por las hermanas Bellenden, dos fascinantes pero extremadamente perversas señoritas. Flowers supera todos los problemas, llega a ser Segundo Wrangler y Senior Classic, y logra obtener automáticamente una plaza de Fellow (como supongo que sucedía entonces). Brown sucumbe, arruina a sus padres, se da a la bebida, es salvado del delirium tremens durante una tormenta por las oraciones del Junior Dean, le resulta muy difícil obtener siquiera un diploma normal, y finalmente se convierte en misionero. Su amistad no se ve alterada por estos infelices sucesos y a Flowers le vienen a la cabeza recuerdos de Brown cuando está bebiendo una copa de Oporto y comiendo cacahuetes en la Senior Combination Room.

Aunque Flowers era un tipo bastante decente (en la medida en que «Alan St Aubyn» podía describirlo), incluso mi poco sofisticada mente rechazaba aceptarlo como inteligente. Si él podía conseguir esas cosas, ¿por qué yo no? En particular, la escena final en la Senior Combination Room me fascinó completamente y, desde entonces, hasta que lo conseguí, las matemáticas significaban para mí conseguir una Fellowship en el Trinity.

Pronto descubrí, cuando llegué a Cambridge, que ocupar una Fellowship significaba desarrollar un «trabajo original», pero pasó mucho tiempo antes de que formase una idea definitiva sobre la investigación.

En la escuela había por supuesto descubierto, como lo hace cualquier futuro matemático, que a menudo podía hacer las cosas mejor que mis maestros; e incluso en Cambridge descubrí, aunque naturalmente mucho menos frecuentemente, que, a veces, podía hacer las cosas mejor incluso que los que impartían las clases. Sin embargo, incluso una vez obtenida la licenciatura, tenía escasos conocimientos de las áreas en las que iba a trabajar el resto de mi vida; y todavía sigo pensando en las matemáticas como en una asignatura esencialmente competitiva. El primero que me abrió los ojos fue el profesor Love, que me dio clase durante algunos trimestres y me proporcionó mi primera concepción seria del análisis, pero la gran deuda que contraje con él (era, después de todo, fundamentalmente un matemático aplicado) fue su consejo de que leyera el famoso Cours d’analyse de Jordan. Nunca olvidaré el asombro con el que leí este notable trabajo, que ha sido la fuente de inspiración de mi generación: según lo leía aprendí por primera vez qué significaban realmente las matemáticas. Desde entonces fui a mi manera un auténtico matemático con sólidas ambiciones matemáticas y una genuina pasión por ellas.

Escribí bastante durante los siguientes diez años, aunque poco que tuviera alguna importancia; sólo hay cuatro o cinco artículos que pueda recordar con cierta satisfacción. Los momentos críticos de mi carrera se presentaron diez o doce años más tarde, en 1911, cuando comencé mi largo periodo de colaboración con Littlewood, y en 1913, cuando descubrí a Ramanujan. Desde entonces, mis mejores trabajos han estado unidos a los suyos y es obvio que mi asociación con ellos fue el hecho decisivo de mi vida. Todavía me digo cuando estoy deprimido y me veo obligado a escuchar a personas pomposas y aburridas, «bueno, he hecho una cosa que usted nunca podría haber hecho, que es haber colaborado tanto con Littlewood como con Ramanujan en, digamos, igualdad de condiciones». A ellos les debo una madurez creativa inusualmente tardía: mi mejor momento fue cuando tenía más de cuarenta años y era profesor en Oxford. Desde entonces he sufrido un continuo deterioro que es el destino común reservado a las personas mayores y especialmente a los matemáticos mayores. Un matemático todavía puede ser bastante competente a los sesenta, pero es inútil esperar de él que siga produciendo ideas originales.

Está claro que mi vida, en lo que tiene algo de valor, está acabada, y que no puedo hacer nada que incremente o disminuya perceptiblemente su valor. Es difícil ser desapasionado, pero la considero un «éxito»; he tenido más recompensas de las que pudiera cosechar una persona de mi nivel de competencia profesional y he ocupado cargos cómodos y «decorosos». He tenido pocos problemas con la parte más aburrida de la rutina universitaria. Odiaba «enseñar» y lo he tenido que hacer poco, y lo que he hecho ha consistido casi enteramente en supervisar investigaciones; me gusta dar clases y he dado muchas a grupos extremadamente dotados; y siempre dispuse de mucho tiempo libre para las investigaciones que han sido la más grande y permanente fuente de felicidad de mi vida. Encontré fácil trabajar con otros, y he colaborado a gran escala con dos matemáticos excepcionales; lo que me ha permitido incorporar a las matemáticas bastante más de lo que pudiera razonablemente haber esperado. También he tenido mis desilusiones como cualquier otro matemático, pero ninguna de ellas ha sido demasiado importante ni me ha hecho especialmente desgraciado. Si a los veinte años me hubieran ofrecido una vida ni mejor ni peor que ésta, la hubiera aceptado sin dudar.

Parece absurdo suponer que me hubiera podido «ir mejor». Carezco de habilidades lingüísticas o artísticas y tengo muy poco interés por las ciencias experimentales. Podría haber sido un filósofo aceptable, pero no muy original. Pienso que podría haber sido un buen abogado; pero el periodismo es la única profesión fuera de la vida académica, en la que yo hubiera confiado en mis posibilidades. De cualquier modo, si el criterio de valoración es el de lo que hoy normalmente llamamos éxito, no hay duda de que acerté al convertirme en matemático.

Mi elección fue correcta si lo que quería era una vida razonablemente cómoda y feliz. Sin embargo, abogados, agentes de bolsa y corredores de apuestas llevan a menudo una vida cómoda y feliz, y es muy difícil ver cómo el mundo se ve enriquecido con su existencia. ¿Puedo yo, en algún sentido, pensar que mi vida ha sido menos fútil que la de ellos? Me parece que hay una única respuesta posible: quizá sí, pero, si así es, sólo por una razón.

No he hecho nunca nada útil, ningún descubrimiento mío ha producido, o va a hacerlo directa o indirectamente, para bien o para mal, la menor diferencia en el bienestar del mundo. He ayudado a formar a otros matemáticos, pero del mismo tipo que yo, y su trabajo ha sido, al menos en la parte en que yo les he ayudado, tan inútil como el mío. Si se juzga desde un punto de vista práctico, el valor de mi vida matemática es nulo; y, en cualquier caso, es trivial fuera de las matemáticas. Sólo tengo una posibilidad de escapar a un veredicto de completa trivialidad: que pueda ser juzgado por haber creado algo digno de serlo. Y no se puede negar que he creado algo, el problema estriba en determinar su valor.

Por tanto, la justificación de mi vida o la de cualquier otro que haya sido matemático en el mismo sentido en que yo lo he sido, es ésta: he añadido algo al conocimiento y he ayudado a otros a añadir más; estas aportaciones tienen un valor que difiere sólo en grado, pero no en el tipo, de las creaciones de los grandes matemáticos, o de las de cualesquiera otros artistas, grandes o pequeños, que hayan dejado algún tipo de huella detrás de sí.

Nota final

Tanto el profesor Broad como el doctor Snow me han indicado que si quiero alcanzar un equilibrio justo entre lo bueno y lo malo que ha hecho la ciencia, no debo obsesionarme por sus repercusiones en la guerra; y que incluso cuando pienso en ellas debo recordar que hay muchas más, además de las puramente destructivas. Así pues (considerando primero el último aspecto), debo recordar que:

1. La organización de toda una población para la guerra sólo es posible con métodos científicos.

2. La ciencia ha incrementado enormemente el poder de la propaganda, que es utilizada casi exclusivamente para hacer el mal.

3. Ha convertido a la neutralidad en algo imposible o sin significado, pues ya no existen «islas de paz» desde las que la cordura y la reconstrucción puedan extenderse gradualmente después de la guerra.

Por supuesto que todo esto tiende a reforzar los argumentos contra la ciencia. Por otro lado, incluso si analizamos al máximo los argumentos, es difícil mantener seriamente que el mal hecho por la ciencia no haya sido en conjunto compensado por el bien. Por ejemplo, si en cada guerra se perdiesen diez millones de vidas, el efecto neto de la ciencia sería todavía el haber incrementado la duración media de la vida. En resumen, la sección 28 es demasiado «sentimental».

No discuto la justicia de estas críticas, pero por las razones que indico en el prefacio, ha sido imposible introducirlas en mi texto y me doy por satisfecho con este reconocimiento.

El doctor Snow también ha hecho un comentario interesante sobre la sección 8. Incluso si damos por supuesto que «Arquímedes será recordado cuando Esquilo haya sido olvidado», ¿no es la fama matemática demasiado «anónima» para ser plenamente satisfactoria? Podemos llegar a tener una visión bastante buena de la personalidad de Esquilo (y, por supuesto, mucho más en los casos de Shakespeare o Tolstoi) únicamente recurriendo a sus obras, mientras que Arquímedes y Eudoxo permanecerán como meros nombres.

J. M. Lomas dijo lo mismo de una forma más pintoresca cuando pasábamos junto a la columna de Nelson, en Trafalgar Square. Si yo tuviera una columna con una estatua en Londres, ¿preferiría que la columna fuese tan alta que la estatua fuera invisible, o suficientemente baja para que se reconociesen los rasgos? Yo escogería la primera alternativa, y el doctor Snow, probablemente, la segunda.

F I N

Notas:

[1]Sir Charles Percy Snow (1905-1980). Estudió ciencias físicas en Cambridge y ocupó importantes cargos en los departamentos científicos de la administración británica. Se le conoce, sin embargo, por sus obras literarias y, especialmente, por su ciclo sobre la Gran Bretaña del siglo XX, que comienza con la novela Extraños y hermanos. (N. del T).

[2] Denominación de una de las cátedras del Trinity College. Suelen denominarse con el apellido de la persona que dota la plaza. (N. del T).

[3]David Lloyd George (1863-1945). Primer ministro británico (1916-1922). (N. del T).

[4]John Littlewood (1885-1977). Matemático británico que trabajó en colaboración con Hardy. En torno a ellos se reagrupó la escuela inglesa de teoría analítica de los números. (N. del T.).

[5]Srinivasa Ramanujan. Matemático indio (1887-1920). Fue un autodidacta que descubrió o redescubrió un centenar de teoremas en diversas ramas de las matemáticas. En 1912, G. H. Hardy consiguió para él una beca y fue admitido en el Trinity College de Cambridge, donde permaneció hasta 1919, y escribió una veintena de artículos, en particular sobre teoría analítica de números. Sus descubrimientos han tenido gran influencia en la física moderna. (N. del T.).

[6]Leopold Infeld (1898-1968). Físico polaco colaborador de Einstein. (N. del T.).

[7]Se denomina así a los alumnos que asistieron al colegio de Winchester, fundado, al igual que el New College de Oxford, por William of Wykeham (1324-1404), que fue canciller de Inglaterra y arzobispo de Winchester. (N. del T.).

[8]«Alan St Aubyn» era el seudónimo de la escritora Francés Marshall. (N. del T.).

[9]Profesor miembro de la junta de gobierno de un College de Cambridge. (N. del T.).

[10]Se denomina Wrangler en la Universidad de Cambridge a un estudiante que obtiene la mejor nota en la parte II de los exámenes finales de matemáticas. (N. deI T.).

[11]En las Universidades de Oxford y Cambridge el Dean es un profesor responsable de la disciplina de los estudiantes aún no licenciados. (N. del T.).

[12]En la Universidad de Cambridge, una Combination Room es un salón para descansar, tomar algo o charlar. La Senior Combination Room es el salón reservado a los profesores. (N. del T.).

[13]Plaza de profesor miembro de la junta de gobierno. (N. del T.).

[14]George Macaulay Trevelyan (1876-1962). Historiador inglés. (N. del T.).

[15]Equivalentes al examen de licenciatura en matemáticas. (N. del T.).

[1]6Curso de análisis. (N. del T.).

[17]Camille Jordan (1838-1922). Matemático francés conocido por sus trabajos sobre análisis. (N. del T.).

[18]George Edward Moore (1873-1958). Filósofo inglés conocido por su obra Principia Ethica. (N. del T.).

[19]Alfred North Whitehead (1861-1947). Filósofo y matemático británico, nacionalizado norteamericano. En sus inicios se dedicó a estudios de lógica y matemáticas. Su colaboración con Bertrand Russell en la redacción de los Principia Mathematica es su obra más importante en esta época. (N. del T.).

[20]Se llama así a un grupo de artistas e intelectuales británicos de principios del siglo XX que debe su nombre al barrio de Londres en el que residían la mayoría de ellos. Entre ellos estaban Virginia Woolf, E. M. Forster y John Maynard Keynes. (N. del T.).

[21]En inglés spin significa vuelta, giro o el golpe con efecto propinado a una pelota. También se denomina internacionalmentespin al giro del electrón. (N. del T.).

[22]Maurice Harold Macmillan (1894-1986). Primer ministro inglés (1957-1963). (N. del T.).

[23]Donald George Bradman. Jugador de criquet australiano. (N. del T.).

[24]Sir John Berry Hobbs. Jugador de criquet inglés. (N. del T.).

[25]John Maynard Keynes (1883-1946). Economista inglés. Participó en la conferencia de Bretton Woods (1944) en la que se crearon el Fondo Monetario Internacional y el Banco Mundial. (N. del T.).

[26]Piotr L. Kapitsa (1894-1984). Físico soviético que estudió en Cambridge. Premio Nobel de Física en 1978. (N. del T.).

[27]Evariste Galois (1811-1832). Matemático francés. Después de intentar ingresar por dos veces en la Escuela Politécnica, entró en 1830 en la Escuela Normal, de la que fue expulsado en 1831, después de la revolución de julio, por formar parte activa del Partido Demócrata. En su célebre Carta à Auguste Chevalier resumió su teoría de las ecuaciones así como los resultados sobre integrales abelianas, su clasificación y periodicidad, resultados que Riemann establecería 25 años más tarde. (N. del T.).

[28] Niels Henrik Abel (1802-1829). Matemático noruego. Siendo todavía estudiante trabajó en la resolución de la ecuación de 5.º grado. Demostró la imposibilidad de su resolución mediante radicales a través de métodos que anunciaban el trabajo de Galois. Estudió series, integrales elípticas y las llamadas integrales abelianas. Apartado de la vida científica europea y enfermo de tuberculosis, murió casi en la miseria. (N. del T.).

[29]Bernhard Riemann (1826-1866). Matemático alemán. Alumno de Gauss, Jacobi y Steiner, en 1859 sucedió a Dirichlet en la cátedra de matemáticas de la Universidad de Gotinga. Su tesis sobre la teoría de funciones de variables complejas (1851) transformó completamente esa teoría. Sus estudios sobre las relaciones entre la teoría de funciones y la de superficies le condujo a plantear las bases de la topología, de la que puede considerársele creador. Desarrolló una teoría de integración más general que la de Cauchy. Introdujo el concepto de multiplicidad (generalización del de superficie) y desarrolló una geometría no euclídea, sin paralelas. (N. del T.).

[30]David Hilbert (1862-1943). Máximo exponente de la escuela matemática alemana en el primer tercio del siglo XX. Se interesó casi exclusivamente por los invariantes algebraicos. Investigó la forma de establecer las bases de la geometría llegando al desarrollo del método axiomático. Formuló el llamado programa de Hilbert que en los años 20 dio un impulso decisivo a las investigaciones de lógica matemática. (N. del T.).

[31]Edward Stanley Derby (1865-1948). Ministro de Guerra británico (1916-1918, 1922-1924). Intentó un último esfuerzo para organizar el ejército por medio de un alistamiento voluntario. (N. del T.).

[32]Adam Sedgwick (1785-1873). Geólogo inglés que trabajó en la determinación de los períodos geológicos. (N. del T.).

[33]George Meredith (1828-1909). Novelista y poeta inglés cuyas obras destacan por su sátira social. (N. del T.).

[34]Título de la última obra de James Joyce. (N. del T.).

[35]En castellano, estos nombres corresponden a Adriano y Aníbal. (N. del T.).

[36]James Clerk Maxwell (1831-1879). Físico escocés que desarrolló la teoría electromagnética. (N. del T.).

[37]Frederick Alexander Lindemann (1886-1957). Físico inglés nacido en Alemania que fue asesor científico de Wiston Churchill durante la Segunda Guerra Mundial. (N. del T.).

[38]Título de una de las obras de Snow. Su traducción al castellano sería Los Maestros. (N. del T.).

[39]En castellano se traduciría por Un día en el campo Oval. Se llama así a un campo de criquet que existe en el centro de Londres. (N. del T.).

[40]Nombre de una calle de Londres en la que tienen su sede varios ministerios del gobierno británico. (N. del T.).

[41]Elementos IX 20. No está claro el origen real de muchos de los teoremas de los Elementos, pero no hay ninguna razón particular para suponer que este teorema no sea de Euclides.

[42]Hay razones técnicas para no considerar a 1 como un número primo.

[43]Esta demostración puede efectuarse evitando la reducción al absurdo y lógicos de algunas escuelas prefieren que sea así.

[44]Esta demostración ha sido tradicionalmente atribuida a Pitágoras y es ciertamente, al menos, un producto de su escuela. Este teorema aparece, de una forma mucho más general, en Euclides (Elementos X 9).

[45]Se supone que el número de protones en el universo es de alrededor de 10^80. Si escribiésemos el número 10^1010 en toda su extensión, ocuparía aproximadamente 50000 volúmenes de tamaño mediano.

[46]Como mencioné en la sección 14 hay 50847478 números primos que son inferiores a 1000000000, pero esto es lo más lejos a lo que nuestro conocimiento exacto llega.

[47]Creo que ahora en un problema se considera un mérito el que haya muchas variantes del mismo tipo.

[48]Yo he sido acusado de compartir este punto de vista. Una vez dije que «una ciencia es considerada útil si su desarrollo tiende a acentuar las desigualdades existentes en la distribución de la riqueza o si, en definitiva, promueve la destrucción de la vida humana». Esta frase escrita en 1915 ha sido citada (a mi favor o en mi contra) en varias ocasiones. Fue sin duda una intencionada floritura retórica, aunque quizá fuera excusable en el momento en que fue escrita.

[49]Por supuesto, para los propósitos de esta argumentación, llamamos geometría pura a lo que los matemáticos llaman geometría analítica.

[50]No deseo prejuzgar la cuestión con esta palabra tan mal utilizada, que puede ser usada de modo bastante legítimo para indicar cierto tipo de emoción desequilibrada. Por supuesto que mucha gente utiliza el término «sentimentalismo» como una forma de desprecio hacia los sentimientos decentes de otras personas, y el término «realismo» para encubrir su propia brutalidad.

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